• A
  • A
  • A
  • АБВ
  • АБВ
  • АБВ
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта

Асимптотические методы

2019/2020
Учебный год
RUS
Обучение ведется на русском языке
4
Кредиты
Статус:
Курс по выбору
Когда читается:
3-й курс, 4 модуль

Преподаватели

Программа дисциплины

Аннотация

В рамках курса «Асимптотические методы», студент познакомится с методами построения асимптотических оценок и асимптотических разложений в различных классах задач, в том числе для неявно заданных функций, интегралов и сумм, зависящих от параметра, ряда специальных функций, решений дифференциальных и разностных уравнений, решений уравнений в частных производных. В курсе рассматриваются множество классических методов: метод последовательных приближений, формула Эйлера-Маклорена, метод стационарной фазы, метод перевала, методы ВКБ, методы теории возмущений, методы осреднения, методы пограничного слоя. Данные методы повсеместно применяются при математическом моделировании в математической физике, компьютерных науках, математической экономике.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Ознакомление студентов с основными понятиями и методами асимптотического анализа
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • Приобретение студентом знаний об основных методах асимптотического анализа и приобретение навыков применения этих методов в задачах.
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Асимптотические формулы
    Предмет и методы асимптотического анализа. Символ эквивалентности, символы o и O ; алгебраические действия над ними. Асимптотическая оценка. Шкала бесконечно больших и бесконечно малых элементарных функций. Понятие асимптотической формулы (асимптотического представления). Алгебраические операции с асимптотическими формулами и суперпозиция асимптотических формул. Замена переменной в асимптотических формулах. Асимптотическая последовательность и асимптотический ряд (асимптотическое разложение).
  • Неявные функции и корни уравнений
    Построению асимптотики функций, заданных неявно. Построение асимптотики корней уравнений. Асимптотический метод последовательных приближений.
  • Асимптотики функций, заданных интегралами с переменным пределом
    Асимптотики функций, являющихся частичными интегралами расходящихся несобственных интегралов. Асимптотики функций, являющихся остатками сходящихся несобственных интегралов. Теоремы сравнения. Получение асимптотик интегралов при помощи формул Тейлора и при помощи интегрирования по частям.
  • Асимптотики сумм
    Теорема об оценке сумм с помощью интегралов в случае монотонных членов. Теорема об оценке сумм с помощью интегралов посредством метода центральных прямоугольников. Построение асимптотик частичных сумм расходящихся рядов и остатков сходящихся. Методы оценок для сумм с медленно меняющимися и с быстро меняющимися слагаемыми. Многочлены Бернулли и формула Эйлера-Маклорена.
  • Асимптотики функций, заданных интегралом с параметром
    Метод Лапласа. Метод стационарной фазы. Метод перевала.
  • Асимптотики решений дифференциальных уравнений
    Линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Теоремы Бохера о линейной, экспоненциальной и синусоидальной асимптотике. Теоремы о ВКБ асимптотиках. Асимптотика функций Бесселя. Метод пограничного слоя.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Аудиторная работа
  • неблокирующий Самостоятельная работа
  • неблокирующий Экзамен
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (4 модуль)
    0.24 * Аудиторная работа + 0.36 * Самостоятельная работа + 0.4 * Экзамен
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Конкретная математика : основание информатики, Грэхем Р. Л., Кнут Д., 2009

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Computation and Asymptotics - 2012 - ISBN:978-3-642-25749-0 // Springer URL https://www.springer.com/kr/book/9783642257483
  • J.Cousteix, J.Mauss, Asymptotic Analysis and Boundary Layers// Springer, 2007.