Линейная алгебра и аналитическая геометрия

2019/2020

Учебный год

RUS

Обучение ведется на русском языке

10

Кредиты

Кто читает:

Департамент прикладной математики

Статус:

Курс обязательный

Когда читается:

1-й курс, 1-4 модуль

Преподаватели

Захарьев Иван Юрьевич

Перескоков Александр Вадимович

Преснова Анна Павловна

Программа дисциплины

Аннотация

Настоящая дисциплина относится к базовой части Б. Пр. Б профессионального цикла дисциплин. Изучение данной дисциплины базируется на знаниях и умениях, приобретенных в рамках школьной программы по математике. Для освоения учебной дисциплины от студентов не требуется знаний и умений, выходящих за рамки школьной программы. Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении дисциплин: «Математический анализ», «Дифференциальные уравнения», «Теория функций комплексного переменного», «Функциональный анализ», «Теория вероятностей и математическая статистика», «Теория случайных процессов», «Уравнения математической физики», «Методы оптимизации», «Численные методы», «Теория управления».

Цель освоения дисциплины

• Приобретение знаний и умений в соответствии с образовательным стандартом НИУ ВШЭ
• Формирование у студентов естественнонаучного мировоззрения и развитие у них системного мышления
• Ознакомление студентов с основными понятиями и методами линейной алгебры и аналитической геометрии
• Освоение базовых приемов решения практических задач по темам дисциплины

Планируемые результаты обучения

• Умеет вычислять определители второго и третьего порядка
• Умеет применять векторы для решения геометрических задач
• Умеет вычислять произведения векторов, находить углы между векторами, площади и объемы фигур
• Умеет записывать уравнения прямой и плоскости, находить расстояния между прямой и плоскостью, между точкой и плоскостью
• Умеет строить линии второго порядка на плоскости
• Умеет вычислять определители порядка n и находить обратную матрицу
• Умеет решать системы линейных уравнений
• Уметь находить матрицы, собственные значения и инвариантные подпространства операторов
• Уметь применять метод ортогонализации Грама – Шмидта, метод наименьших квадратов, вычислять углы и проекции на подпространство
• Умеет находить собственные значения и собственные векторы оператора, жорданову форму
• Умеет находить ядро, образ, матрицу линейных отображений, инвариантные подпространства
• Умеет выполнять действия над линейными подпространствами, находить размерности подпространств
• Умеет приводить квадратичную форму к каноническому виду и находить каноническое уравнение поверхности
• Умеет находить базис, размерность линейного пространства, преобразовывать координаты при замене базиса

Содержание учебной дисциплины

• Матрицы и определители второго и третьего порядка
  Матрицы. Разложение определителя по строке. Алгебраические дополнения. Свойства определителей второго и третьего порядка.
• Векторная алгебра на плоскости и в пространстве
  Векторы. Свойства линейных операций над векторами. Деление отрезка. Векторные пространства. Линейная зависимость и линейная независимость векторов. Базис в векторномпространстве. Координаты вектора в данном базисе.
• Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов
  Вычисление и свойства произведений векторов. Свойства проекций вектора на вектор и ось. Длины векторов, углы между векторами. Ортогональные векторы. Площади многоугольников на плоскости и в пространстве. Объемы многогранников. Нахождениеплоских и двугранных углов.
• Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве
  Уравнения прямой и плоскости. Взаимное расположение прямых и плоскостей. Расстояния между прямой и плоскостью, между точкой и плоскостью.
• Линии и поверхности второго порядка
  Определение эллипса, гиперболы и параболы. Их канонические уравненияи геометрические свойства. Классификация линий второго порядка. Преобразование уравнения второго порядка от двух переменных при замене системы координат.Теорема о линияхвторого порядка на плоскости. Поверхности второго порядка.
• Алгебра матриц. Определители порядка n
  Определение и основные свойства операций над матрицами. Элементарные преобразования матриц и элементарные матрицы. Транспонированная матрица. Приведение матрицы к ступенчатому с помощью элементарных преобразований. Метод Гаусса. Определители порядка n и их основные свойства. Алгебраические дополнения и миноры. Определитель произведения матриц. Обратная матрица и способы ее нахождения. ПравилоКрамера. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре.
• Системы линейных уравнений и элементарные преобразования матриц
  Классификация систем линейных уравнений. Эквивалентные системы линейных уравнений. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.Теорема Кронекера-Капелли. Свойства решенийоднородных систем.Фундаментальная матрица. Структура общего решения однородной и неоднородной систем.
• Линейные пространства. Базис и размерность
  Определение и примеры линейных пространств. Линейно зависимые и независимые системы векторов. Базис в линейном пространстве, теорема о его существовании. Размерность линейных пространств. Преобразование координат вектора при изменении базиса. Изоморфизм линейных пространств.
• Линейные подпространства
  Определение и примеры линейных подпространств. Линейная оболочка системы векторов. Линейные подпространства и решения однородных систем линейных уравнений. Действия над линейными подпространствами. Необходимые и достаточные условия разложимости в прямую сумму подпространств. Теорема о размерности суммы двух подпространств.
• Линейные отображения и линейные операторы. Инвариантные подпространства
  Определение и примеры линейных отображений. Матрица линейного отображения и ее свойства. Ядро и образ линейного отображения. Изменение матрицы при заменебазиса. Канонический вид матрицы. Линейные операторы. Определение и примеры инвариантных подпространств.Клеточно-треугольная и клеточно-диагональная матрицы.
• Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Условия диагонализуемости.Жорданова форма
  Собственные значения и собственные векторы линейных операторов. Их нахождение. Характеристическиймногочлен.Собственные подпространства и ихсвойства. Условия диагонализуемостиматрицы оператора.Теорема Кэли-Гамильтона. Корневые и циклические подпространства.Теорема о существовании жордановой формы матрицы и способ ее нахождения.Операторы в вещественном пространстве.
• Евклидовы пространства
  Определение и примеры евклидовых пространств. Неравенство Коши –Буняковского. Матрица Грама. Ортогональные и ортонормированные базисы. Метод ортогонализации Грама –Шмидта.Теорема об изоморфизме евклидовых пространств. Проекция вектора на подпространство. Метод наименьших квадратов.Унитарные пространства и их свойства.
• Линейные операторы в евклидовых пространствах
  Понятие сопряженного оператора. Его существование и единственность. Матрица сопряженного оператора. Теорема Фредгольма. Самосопряженные операторы, их матрицы, собственные значения и инвариантные подпространства. Ортогональные операторы и их классификация на плоскости и в пространстве.Нормальный оператор и его свойства.
• Билинейные и квадратичные формы
  Определение и примеры билинейных и квадратичных форм. Матрицы билинейных и квадратичных форм. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Критерий Сильвестразнакоопределенности квадратичной формы. Классификация поверхностей второго порядка в трехмерном пространстве.

Элементы контроля

• Самостоятельная работа 1-2
• Контрольная работа 1
• Домашняя работа 1
• Домашняя работа 2
• Контрольная работа 2
• Самостоятельная работа 3-4
• Промежуточный экзамен
• Итоговый экзамен
  Экзамен проводится в письменной и устной форме с использованием асинхронного прокторинга. Экзамен проводится на платформе ZOOM (https://zoom.us/j/), прокторинг на платформе Экзамус (https://hse.student.examus.net). К экзамену необходимо подключиться за 15 минут. На платформе Экзамус доступно тестирование системы. Компьютер студента должен удовлетворять следующим требованиям: https://elearning.hse.ru/data/2020/05/07/1544135594/Технические%20требования%20к%20ПК%20студента.pdf) Для участия в экзамене студент обязан: заранее зайти на платформу прокторинга, провести тест системы, включить камеру и микрофон, подтвердить личность. Во время экзамена студентам запрещено: общаться (в социальных сетях, с людьми в комнате), списывать. Кратковременным нарушением связи во время экзамена считается прерывание связи до 10 минут. Долговременным нарушением связи во время экзамена считается прерывание связи 10 минут и более. При долговременном нарушении связи студент не может продолжить участие в экзамене. Процедура пересдачи аналогична процедуре сдачи.
• контрольно-измерительные материалы
  контрольно-измерительные материалы

Промежуточная аттестация

• Промежуточная аттестация (2 модуль)
  0.105 * Домашняя работа 1 + 0.245 * Контрольная работа 1 + 0.5 * Промежуточный экзамен + 0.15 * Самостоятельная работа 1-2
• Промежуточная аттестация (4 модуль)
  0.053 * Домашняя работа 2 + 0.5 * Итоговый экзамен + 0.122 * Контрольная работа 2 + 0.25 * Промежуточная аттестация (2 модуль) + 0.075 * Самостоятельная работа 3-4

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Аналитическая геометрия : учебник и практикум для академического бакалавриата, Попов, В. Л., 2016
• Курс аналитической геометрии и линейной алгебры : учебник для вузов, Беклемишев, Д. В., 2003
• Линейная алгебра : учеб. пособие, Яковлев, И. В., 2010
• Сборник задач по аналитической геометрии, Клетеник, Д. В., 2003
• Сборник задач по линейной алгебре : учеб. пособие для вузов, Проскуряков, И. В., 2003

Рекомендуемая дополнительная литература

• Friedberg, S. H., Insel, A. J., & Spence, L. E. (2014). Linear Algebra: Pearson New International Edition (Vol. Pearson new international edition). Harlow, Essex: Pearson. Retrieved from http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=true&site=eds-live&db=edsebk&AN=1418313
• Лекции по линейной алгебре, Гельфанд, И. М., 1971