• A
  • A
  • A
  • АБВ
  • АБВ
  • АБВ
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта

Асимптотические методы исследования нелинейных процессов

2019/2020
Учебный год
RUS
Обучение ведется на русском языке
5
Кредиты
Статус:
Курс по выбору
Когда читается:
4-й курс, 1, 2 модуль

Преподаватель

Программа дисциплины

Аннотация

В ходе освоения дисциплины «Асимптотические методы исследования нелинейных процессов» студенты познакомятся с основными типами решений нелинейных уравнений и методами их конструктивного исследования. Изучение дисциплины базируется на следующих дисциплинах: математический анализ, алгебра, физика, тфкп, дифференциальные уравнения, функциональный анализ, уравнения математической физики, численные методы. Знания и навыки, приобретенные при изучении данной дисциплины, могут использоваться при подготовке студентами выпускной квалификационной работы, а также в их дальнейшей профессиональной деятельности.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Знакомство с основными типами решений нелинейных уравнений и методами их конструктивного исследования
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • Знание основных типов решения нелинейных уравнений
  • Владение методами конструктивного исследования решений
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Метод ВКБ
    Метод ВКБ с точки зрения метода Уизема на примере линейного уравнения Шредингера с малым параметром. Примеры асимптотических разложений. Уравнение Гамильтона-Якоби как условие разрешимости эталонного уравнения. Уравнение переноса как условие разрешимости уравнения для поправки. Задача Коши для линейного волнового уравнения.
  • Метод Уизема
    Метод Уизема на примере нелинейного волнового уравнения (Sin -Гордона). Уравнение Ньютона в случае квадратичного потенциала. Вывод эталонного уравнения и условий его разрешимости. Расцепление условий разрешимости для эталонного уравнения. Уравнение для поправки в случае одномерного коядра. Построение решения уравнения Sin-Gordona. Уравнение для поправки в случае двумерного коядра.
  • Метод Маслова-Уизема построения стабилизирующихся асимптотических решений
    Метод Маслова- Уизема построения стабилизирующихся асимптотических решений на примере уравнения Кортевега-де Фриза. Основные свойства стабилизирующихся асимптотических решений. Примеры аддитивных и мультипликативных асимптотик. Вывод и исследование эталонного уравнения. Эталонное уравнение для уравнений типа КдФ с выпуклой нелинейностью. Вывод и исследование уравнений для поправки. Уравнений для поправки для уравнений типа КдФ с выпуклой нелинейностью. Двухсолитонное асимптотическое решение до взаимодействия. Уравнение типа КдФ с малой правой частью.
  • Введение в теорию гиперболических законов сохранения
    Обобщенные решения законов сохранения. Интегральное тождество, вывод условий на скачке. Квадратичный закон сохранения. Построение разрывных решений методом характеристик. Условия разрешимости. Примеры решения задачи Коши.
  • Вязкая регуляризация гиперболических законов сохранения
    Построение асимптотических решений типа ударных волн. Уравнение с малым параметром Бюргерса, априорные оценки решения. Замена Хопфа-Коула, примеры построения решений. Построение асимптотических решений типа ударных волн. Вывод эталонного уравнения и условий его разрешимости. Интегрирование эталонного уравнения. Решение эталонного уравнения в случае выпуклой нелинейности. Вывод уравнения для поправки и анализ его разрешимости. Интегральное представление для решения уравнения для поправки. Сшивание решений в и вне окрестности разрыва.
  • Обобщенные функции
    Обобщенные функции: сходимость в слабом смысле, дифференцирование по параметру. Малые в слабом смысле величины. Примеры обобщенных функций и их свойств. Пример Шварца неассоциативности умножения. Аппроксимации обобщенных функций гладкими, моментные разложения. Примеры обобщенных функций и их аппроксимаций. Разложения аппроксимаций в асимптотические ряды. Асимптотические алгебры обобщенных функций. Алгебры гармонических аппроксимаций.
  • Слабые асимптотические решения
    Слабые асимптотические решения на примере законов сохранения в случае скачков постоянной величины. Построение решения в случае общего начального условия. Слабая асимптотика взаимодействия ударных волн для одномерного скалярного закона сохранения. Вывод условий на скачке с помощью интегрального тождества. Взаимодействие на переменном фоне. Образование скачка в результате взаимодействия слабых особенностей. Слабая асимптотика распада разрыва. Построение решения в случае общего начального условия. Образование разрыва на подмногообразии коразмерности 1. Решение уравнения для функции, описывающей распад разрыва. Слабая асимптотика взаимодействия солитонов в уравнении типа КдФ: построение анзатца, вывод основных уравнений, изучение их свойств и асимптотик. Сравнение анзатца асимптотического решения с точной формулой для уравнения КдФ. Сравнение уравнений, описывающих решение в интегрируемом и неинтегрируемом случае.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Домашнее задание
  • неблокирующий Контрольная работа
  • неблокирующий Итоговая аттестация
  • неблокирующий контрольно-измерительные материалы
    контрольно-измерительные материалы
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (2 модуль)
    0.25 * Домашнее задание + 0.5 * Итоговая аттестация + 0.25 * Контрольная работа
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Dafermos, Constantine. Hyberbolic Conservation Laws in Continuum Physics / Constantine Dafermos. –Springer, 2005

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Freidlin, Mark. Random Perturbations of Dynamical Systems / Mark Freidlin, Alexander Wentzell. –Springer, 2012