Статистический анализ сложных систем, хаос, фракталы

2019/2020

Учебный год

RUS

Обучение ведется на русском языке

5

Кредиты

Кто читает:

Департамент прикладной математики

Статус:

Курс по выбору

Когда читается:

4-й курс, 1, 2 модуль

Преподаватели

Вальба Ольга Владимировна

Тамм Михаил Владимирович

Программа дисциплины

Аннотация

В курсе "Статистический анализ сложных систем, хаос, фракталы" излагаются элементы теории хаоса в динамических системах, рассматривается математическое описание хаотических систем, раскрываются основные понятия теории и моделирования сложных сетей.

Цель освоения дисциплины

• Ознакомление студентов с основами теории сложных систем, включающей динамические системы и сложные сети.

Планируемые результаты обучения

• Анализирует нелинейные системы 1 и 2 порядка, умеет определять точки бифуркаций
• Знает определение динамического хаоса, анализирует дискретные отображения
• Вычисляет основные характеристики сети, знает принципы построения случайных сетей

Содержание учебной дисциплины

• Основы нелинейной динамики
  Сложные системы и их свойства. Нелинейные взаимодействия. Динамические системы, свойства, размерность. Устойчивость траекторий, бифуркации. Устойчивость по Ляпунову и асимптотическая устойчивость стационарных решений. Нелинейные системы дифференциальных уравнений. Стационарные решения, их классификация. Линеаризация. Отсутствие замкнутых траекторий в системах дифференциальных уравнений: градиентная система и построение функции Ляпунова. Понятие о предельном цикле. Критерии отсутствия предельных циклов. Теорема Пуанкаре-Бендиксона. Бифуркация Хопфа.
• Введение в теорию хаотических систем
  Система Лоренца и ее свойства. Детерминированный хаос. Диаграмма Ламерея. Условия устойчивости неподвижной точки. Логистическое разностное уравнение: бифуркация удвоения периода, хаос и «окна периодичности». Ляпуновские показатели. Универсальность Фейгенбаума. Странные аттракторы динамических систем.
• Основы теории и моделирования сложных сетей
  Определения и примеры сложных сетей. Основные понятия в теории сетей. Свойства и метрики. Распределение степеней связности, коэффициенты кластеризации, ассортативность, диаметр, кратчайшие пути. Модель Эрдеша-Реньи. Распределение Бернулли и Пуассона. Функция распределения степеней. Возникновение связанной компоненты. Модель Барабаши-Альберта (Barabasi-Albert). Предпочтительное присоединение. Уравнение в непрерывном приближении. Временная эволюция степеней узлов. Распределение степеней узлов. Средняя длина пути и коэффициент кластеризации. Свойства "малого мира".

Элементы контроля

• контрольная работа
• экзамен
  Если оценка за контрольную работу (Окр) превышает 7 баллов, на усмотрение преподавателя студент может быть освобожден от сдачи экзамена с итоговой оценкой, равной Окр.

Промежуточная аттестация

• Промежуточная аттестация (2 модуль)
  0.5 * контрольная работа + 0.5 * экзамен

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Ахромеева Т.С., Курдумов С.П., Малинецкий Г.Г. - Структуры и хаос в нелинейных средах - Издательство "Физматлит" - 2007 - 488с. - ISBN: 978-5-9221-0887-4 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/2094

Рекомендуемая дополнительная литература

• Balister, P., Bollobás, B., Gunderson, K., Leader, I., & Walters, M. (2015). Random Geometric Graphs and Isometries of Normed Spaces. Retrieved from http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=true&site=eds-live&db=edsbas&AN=edsbas.82683F55
• Имитационное моделирование объектов с хаотическими факторами: Учебное пособие / Кобелев Н.Б. - М.: КУРС, НИЦ ИНФРА-М, 2017. - 192 с.: - (Бакалавриат) - Режим доступа: http://znanium.com/catalog/product/754579
• Фракталы и хаос в динамических системах : учеб. пособие, Кроновер, Р. М., 2006