Методы оптимизации

2020/2021

Учебный год

RUS

Обучение ведется на русском языке

4

Кредиты

Кто читает:

Департамент прикладной математики

Статус:

Курс обязательный

Когда читается:

3-й курс, 1, 2 модуль

Преподаватели

Белова Мария Владимировна

Игнатовская Валерия Анатольевна

Манита Лариса Анатольевна

Программа дисциплины

Аннотация

Настоящая дисциплина является дисциплиной базовой части Профессионального цикла. Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах: математический анализ, линейная алгебра и геометрия, дифференциальные уравнения, функциональный анализ, компьютерный практикум. Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и компетенциями: · знать основные разделы дифференциального исчисления функций одной и нескольких переменных; · уметь вычислять интеграл Римана от функции одной и нескольких переменных; · уметь работать с матрицами, вычислять определитель матрицы, вычислять собственные значения матрицы; · уметь решать системы уравнений; · уметь решать основные типы обыкновенных дифференциальных уравнений; · владеть навыками работы с функционалами · уметь вычислять нормы функционалов · уметь работать в системе MatLab, Mathematica; · знать основные методы численного решения дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений. Основные положения дисциплины могут быть использованы в дальнейшем при изучении дисциплин Теория управления, Численные методы, Прикладные стохастические модели, при выполнении выпускной квалификационной работы

Цель освоения дисциплины

• Одной из важных задач специалиста в области Прикладной математики является разработка математической модели конкретной проблемы, ее анализ и интерпретация, выбор приемлемого или наилучшего решения. Цели данного курса – развить навыки формализации проблемы в виде оптимизационной задачи, освоение методов нахождения наилучших решений, приобрести навыки применения соответствующего программного обеспечения. Планируемые к изучению разделы: метод множителей Лагранжа в конечномерных задачах оптимизации, динамическое программирование, основы вариационного исчисления и оптимального управления. Будут рассмотрены приложения изученных методов для решения прикладных задач.

Планируемые результаты обучения

• Студент должен знать: - понятие целевого функционала, - определения локального и глобального экстремума.
• Студент должен знать: - необходимые и достаточные условия оптимальности в одномерной задаче без ограничений; - необходимые и достаточные условия оптимальности в многомерной задаче без ограничений; - основные методы исследования знакоопределенных и знакопеременных матриц.
• Студент должен знать: -необходимые условия оптимальности в конечномерных задачах с ограничениями в виде равенств в форме правила множителей Лагранжа; - достаточные условия оптимальности в конечномерных задачах с ограничениями в виде равенств; - условия регулярности для задач с ограничениями в виде равенств.
• Студент должен знать: - необходимые условия оптимальности в конечномерных задачах с ограничениями в виде равенств и неравенств в форме правила множителей Лагранжа; - достаточные условия оптимальности в конечномерных задачах с ограничениями в виде равенств и неравенств.
• Студент должен знать: основные постановки задач динамического программирования; принцип оптимальности Беллмана;
• Студент должен знать: алгоритм решения задачи вариационного исчисления и оптимального управления
• Студент должен уметь: - исследовать функцию на выпуклость и вогнутость по определению, по надграфику, по второй производной.

Содержание учебной дисциплины

• Основные понятия в теории экстремальных задач.
  Постановка задачи оптимизации: определение критерия эффективности (целевой функции), множества допустимых решений, локального и глобального экстремума. Условия существования решений в задачах оптимизации.
• Конечномерные задачи безусловной оптимизации.
  Необходимые и достаточные условия оптимальности в одномерной задаче без ограничений. Знакоопределенные и знаконеопределенные симметрические матрицы. Критерий Сильвестра. Необходимые и достаточные условия оптимальности в многомерной задаче без ограничений. Алгоритмы численной оптимизации (градиентный метод, метод наискорейшего спуска, метод сопряженных направлений, метод сопряженных градиентов)
• Конечномерные задачи условной оптимизации. Метод множителей Лагранжа.
  Геометрическая интерпретация задачи условной оптимизации. Задачи оптимизации с ограничениями в виде равенств. Условия оптимальности. Задача с ограничениями в виде равенств и неравенств. Активные и пассивные ограничения. Необходимое условие оптимальности первого порядка в виде правила множителей Лагранжа. Необходимое и достаточное условия оптимальности второго порядка. Интерпретация множителей Лагранжа. Множители Лагранжа как показатели чувствительности целевой функции к изменению ограничений.
• Выпуклая задача оптимизации.
  Выпуклые множества. Примеры выпуклых множеств. Свойства выпуклых множеств. Выпуклые и вогнутые функции. Надграфик выпуклой функции. Вторая производная у дважды дифференцируемой выпуклой функции. Свойства выпуклых функций. Выпуклая задача оптимизации. Свойства множества решений в выпуклой задаче оптимизации. Локальные и глобальные решения в выпуклой задаче. Критерий оптимальности для выпуклой задачи. Задача выпуклого программирования. Теорема Куна – Таккера. Условия регулярности в задаче выпуклого программирования. Условие Слейтера. Теорема Куна – Таккера в форме теоремы о седловой точке функции Лагранжа. Задача линейного программирования. Особенности и методы решения.
• Метод динамического программирования.
  Многошаговые оптимизационные задачи. Метод динамического программирования. Особенности модели. Принцип оптимальности Беллмана. Функциональные уравнения Беллмана. Применение метода динамического программирования: задача о замене оборудования, задача о финансировании проектов.
• Вариационное исчисление и оптимальное управление.
  Элементы вариационного исчисления. Основные понятия и определения. Простейшая задача классического вариационного исчисления. Необходимое условие оптимальности. Уравнение Эйлера. Достаточные условия оптимальности в простейшей задаче. Условия оптимальности в задаче Больца. Изопериметрическая задача. Задача Лагранжа. Необходимые условия оптимальности. Постановка задачи оптимального управления. Необходимые условия оптимальности в задаче оптимального управления.

Элементы контроля

• Проверочная работа №1
  проверяет знания по темам «Условия оптимальности в задаче оптимизации без ограничений», проводится в аудитории, продолжительность 20- 30 минут.
• Проверочная №2 (аудиторная контрольная работа № 1)
  Проводится по темам «Условия оптимальности в конечномерных задачах с ограничениями в виде равенств и равенств-неравенств». Контрольная работа выполняется в аудитории каждым студентом самостоятельно по одному из вариантов и оформляется в отдельной тетради или на отдельных листах. Варианты однотипные.
• Проверочная работа №3 (домашнее задание)
  Проверяет навыки решения задач динамического программирования.
• Проверочная №4 (аудиторная контрольная работа №2)
  Проводится по разделу «Вариационное исчисление». Контрольная работа выполняется в аудитории каждым студентом самостоятельно и оформляется в отдельной тетради или на отдельных листах. Варианты однотипные.
• Проверочная работа №5 (домашнее задание)
  Проверяет навыки решения задач оптимального управления.
• Аудиторная
• контрольно-измерительные материалы
  контрольно-измерительные материалы
• Итоговая контрольная работа
  Итоговая контрольная работа проводится в форме письменного теста, который содержит задания с выбором ответа и со свободным ответом.

Промежуточная аттестация

• Промежуточная аттестация (2 модуль)
  Оценка за промежуточную аттестацию выставляется по следующей формуле: Оаттест=0,6*Отекущая + 0,4*Оитоговая кр , где Отекущая = 10*(сумма оценок за все проверочные работы + оценка за активность)/(максимальная сумма баллов за все проверочные + максимальная оценка за активность на семинаре). Отекущая – целое число от 0 до 10, округление арифметическое.

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Методы оптимальных решений. Т.1: Общие положения. Математическое программирование, , 2010
• Оптимальное управление, Галеев, Э. М., 2008
• Сборник задач по оптимизации : теория, примеры, задачи: задачник для вузов, Алексеев, В. М., 2005

Рекомендуемая дополнительная литература

• A first course in optimization theory, Sundaram, R. K., 2011