Функциональный анализ

2020/2021

Учебный год

RUS

Обучение ведется на русском языке

5

Кредиты

Кто читает:

Департамент прикладной математики

Статус:

Курс обязательный

Когда читается:

3-й курс, 1, 2 модуль

Преподаватели

Волкова Татьяна Викторовна

Лебедев Владимир Владимирович

Парусникова Анастасия Владимировна

Программа дисциплины

Аннотация

Настоящая дисциплина относится к циклу математических дисциплин (базовая часть). Для освоения дисциплины студенты должны владеть знаниями следующих дисциплин: «Математический анализ» в полном объеме, «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» в части, касающейся теории линейных пространств и теории матриц, «Теория функций комплексной переменной» в части, касающейся рядов Тейлора и Лорана (требуется во второй части курса). Основные положения дисциплины используются в дальнейшем при изучении следующих дисциплин: «Уравнения математической физики»; «Методы оптимизации», «Теория вероятностей и математическая статистика»; «Численные методы», «Теория управления», «Теория случайных процессов», «Теоретическая механика». Дисциплина изучается во второй половине второго курса (Часть I) и в первой половине третьего курса (Часть II). НАСТОЯЩАЯ ПРОГРАММА ОХВАТЫВАЕТ МАТЕРИАЛ, СООТВЕТСТВУЮЩИЙ ЧАСТИ II.

Цель освоения дисциплины

• Ознакомление студентов с основами теории функций и функционального анализа
• Знакомство с некоторыми прикладными задачами дисциплины

Планируемые результаты обучения

• Знание основных положений теории меры и интегрирования; теории метрических, нормированных и евклидовых пространств; теории линейных функционалов и линейных операторов, включая элементы спектрального анализа; теории преобразования Фурье
• Умение применять методы функционального анализа к решению теоретических и прикладных задач, в том числе, к решению теоретико-вероятностных задач, задач математической физики, задач оптимального управления, задач математического моделирования
• Приобретение навыков использования стандартных методов функционального анализа и их применения к решению теоретических и прикладных задач

Содержание учебной дисциплины

• Нормированные пространства. Банаховы пространства
  Определение линейного нормированного пространства. Естественное расстояние, порождаемое нормой. Банаховы пространства. Непрерывность нормы. Эквивалентные нормы. Изоморфизм и изометрия нормированных пространств. Пополнение. Теорема о почти перпендикуляре и ее следствие о некомпактности шара в бесконечномерном нормированном пространстве. Ряды в нормированных пространствах. Базис.
• Компактность
  Вполне ограниченные множества в метрических пространствах. Связь вполне ограниченности и ограниченности. Определение ε -сети. Определение компактного множества. Непрерывные функции на компактных множествах. Критерии компактности в некоторых пространствах (C(I), l^1, l^2 ).
• Линейные непрерывные функционалы
  Определение линейного непрерывного функионала. Связь непрерывности и ограниченности. Норма функционала. Сопряженное пространство. Полнота сопряженного пространства. Примеры. Теоремы об общем виде функционала в C(I) и в гильбертовом пространстве. Поточечная сходимость и сходимость по норме последовательности функционалов. Принцип равномерной ограниченности (теорема Банаха–Штейнгауза). Критерий слабой сходимости.

Элементы контроля

• два коллоквиума
  O(нак II) --- накопленная оценка, равная среднему арифметическому оценок за коллоквиум и домашнее задание
• Экзамен (итоговый экзамен по всему курсу)
  О(экз II) --- оценка, полученная на экзамене равна накопленной (автомат)
• Аттестация за Часть I
  О(па I) --- оценка за аттестацию по Части I (полученая на втором курсе)

Промежуточная аттестация

• Промежуточная аттестация (2 модуль)
  О(па) --- оценка за аттестацию равна 0.5 О(нак II)+0.5 О(па I)

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Элементы теории функций и функционального анализа, Колмогоров, А. Н., 2006

Рекомендуемая дополнительная литература

• Бородин П.А., Савчук А.М., Шейпак И.А. - Задачи по функциональному анализу - Московский центр непрерывного математического образования - 2017 - 336с. - ISBN: 978-5-4439-3092-3 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/92693
• Гуревич А. П., Корнев В. В., Хромов А. П. - Сборник задач по функциональному анализу - Издательство "Лань" - 2012 - 192с. - ISBN: 978-5-8114-1274-7 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/3175
• Задачи по функциональному анализу, Бородин, П. А., 2017
• Теоремы и задачи функционального анализа : учеб. пособие для вузов, Кириллов, А. А., 1979
• Элементы функционального анализа, Люстерник, Л. А., 1965