Математический анализ

2020/2021

Учебный год

RUS

Обучение ведется на русском языке

13

Кредиты

Кто читает:

Департамент прикладной математики

Статус:

Курс обязательный

Когда читается:

1-й курс, 1-4 модуль

Преподаватели

Бодрова Анна Сергеевна

Грачев Денис Александрович

Лебедев Владимир Владимирович

Щур Владимир Львович

Элияшев Юрий Валерьевич

Программа дисциплины

Аннотация

Математический анализ относится к циклу естественнонаучных дисциплин и блоку дисциплин, обеспечивающих базовую подготовку. Для того, чтобы начать освоение этой учебной дисциплины от студентов не требуется знаний и умений, выходящих за рамки школьной программы. Основные положения дисциплины используются в дальнейшем при изучении следующих дисциплин: «Дифференциальные уравнения»; «Теория функций комплексного переменного»; «Функциональный анализ»; «Теория вероятностей, математическая статистика и теория случайных процессов»; «Уравнения математической физики»; «Методы оптимизации»; «Исследование операций»; «Физика»; «Математическое моделирование»; «Численные методы»; «Теория управления»; «Случайные процессы и теория массового обслуживания». Дисциплина изучается полтора года: на первом курсе в модулях 1-4 (Часть I) и на втором курсе в модулях 1-2 (Часть II) . НАСТОЯЩАЯ ПРОГРАММА СООТВЕТСТВУЕТ ЧАСТИ I

Цель освоения дисциплины

• Ознакомление студентов с основными понятиями и методами теории пределов, с элементарными асимптотическими методами, с теорией и методами числовых и функциональных рядов, с основами дифференциального и интегрального исчисления функций одного и нескольких действительных переменных, с теорией поля
• Формирование естественнонаучного мировоззрения.

Планируемые результаты обучения

• В результате освоения Части I дисциплины студент должен владеть основными положениями и методами теории пределов, знать элементарные асимптотические методы, владеть основами дифференциального и интегрального исчисления, владеть основами дифференциального исчисления функций многих переменных, теории числовых и функциональных рядов.

Содержание учебной дисциплины

• Множества и их отображения. Действительные числа (структура вещественной прямой). Последовательности и их пределы.
  Понятие множества. Понятие отображения. Знаки включения, объединения и пересечения. Кванторы ∃ и ∀. Необходимые, достаточные и равносильные условия. Знаки импликации ⇒, ⇐ и ⇔. Действительные числа и числовая прямая. Модуль действительного числа и его свойства. Метод математической индукции. Определение и запись последовательности. Ограниченные и неограниченные множества на прямой. Понятие функции. График функции. Ограниченные функции, ограниченные последовательности. Окрестности точек и окрестности ±∞ и ∞. Предел последовательности. Верхняя и нижняя грань множества. Предел монотонной последовательности. Бесконечно малые последовательности. Бесконечно большие последовательности; их связь с бесконечно малыми. Арифметические действия над сходящимися последовательностями. Переход к пределу в неравенствах. Число e. Литература: [1, глава 1], [2, отдел 1, §§1-4].
• Пределы и непрерывность функций
  Проколотые окрестности и полуокрестности. Пределы функций (в том числе односторонние). Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Арифметические действия с пределами. Предельный переход в неравенствах. Теорема о замене переменной в пределах. Еще раз число e. Символ o. Эквивалентные функции. Символ O. Непрерывность в точке (в том числе односторонняя). Классификация точек разрыва. Непрерывность основных элементарных функций. Простейшие асимптотические формулы. Теорема Коши о промежуточном значении. Арифметические действия с непрерывными функциями. Непрерывность суперпозиции. Непрерывность обратной функции. Теорема о непрерывности элементарных функций. Лемма о вложенных отрезках. Подпоследовательность. Теорема Больцано–Вейерштрасса (о выделении сходящейся подпоследовательности). Верхняя (нижняя) грань функции. Теорема Вейерштрасса о наибольшем (наименьшем) значении. Равномерная непрерывность Теорема Кантора. Литература: [1, глава 2; глава 1,§§ 3-4], [2, отдел 1, §§5-9].
• Производная, основные теоремы и методы дифференциального исчисления. Элементарные асимптотические формулы. Исследование функций при помощи производных.
  Определение производной (в том числе односторонней). Производные основных элементарных функций. Геометрический и механический смысл производной. Касательная и нормаль к графику функции. Формула линеаризации. Связь дифференцируемости и непрерывности. Линейность операции дифференцирования. Производные произведения и отношения двух функций. Производная суперпозиции. Производная обратной функции. Производные обратных тригонометрических функций. Производные высших порядков. Точки экстремума. Теорема Ферма. Задача о максимуме и минимуме функции на замкнутом интервале (отрезке). Теорема Ролля. Теорема Лагранжа. Условия постоянства и монотонности функции. Теорема Коши. Правила Лопиталя. Многочлен Тейлора. Формулы Тейлора с остаточным членом в форме Пеано и в форме Лагранжа. Формулы Тейлора для некоторых элементарных функций. Использование формулы Тейлора–Лагранжа в приближенных вычислениях. Использование формул Тейлора–Пеано для асимптотического исследования функций. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба графика функции. Исследование функций при помощи 2-й производной и производных высших порядков. Асимптоты графика функции. Литература: [1, главы 3-4], [2, отдел 2, §§1-13].
• Неопределённый интеграл
  Неопределенный интеграл. Первообразная и неопределенный интеграл. Таблица основных интегралов. Линейность неопределенных интегралов. Замена переменного. Дифференциал. Внесение под знак дифференциала. Интегрирование по частям. Интегрирование рациональных функций. Интегралы, сводящиеся к интегралам от рациональных функций. Эйлерова подстановка. Литература: [1, глава 8], [2, отдел 3].
• Определённый интеграл
  Определенный интеграл, его геометрический смысл. Функции, интегрируемые на отрезке. Линейность и аддитивность определенного интеграла. Ограниченность интегрируемой функции. Критерий интегрируемости. Интегрируемость непрерывных и кусочно непрерывных функций. Интегрируемость модуля интегрируемой функции и соответствующее неравенство. Интегрирование неравенств. Интегральная теорема о среднем. Производная интеграла с переменным верхним пределом. Формула Ньютона–Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле, интегрирование по частям. Геометрические и механические приложения определенных интегралов. Приближенное вычисление определенных интегралов. Литература: [1, главы 9-10], [2, отдел 4, §§1-3,5-11].
• Несобственные интегралы
  Несобственные интегралы 1-го рода. Несобственные интегралы 2-го рода. Теоремы сравнения для несобственных интегралов от неотрицательных функций. Абсолютная сходимость несобственных интегралов. Литература: [1, глава 13], [2, отдел 4, §§4]
• Числовые ряды
  Числовые ряды. Свойства сходящихся рядов. Ряды с неотрицательными членами. Теоремы сравнения. Признак Даламбера и радикальный признак Коши. Интегральный признак сходимости. Абсолютная сходимость рядов. Перестановки членов в абсолютно сходящемся ряде. Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов. Литература: [1, глава 11], [2, отдел 5, §§1-3].
• Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.
  Пространство R^n. Расстояние и шар в R^n. Окрестность и проколотая окрестность точки в R^n. Предел последовательности точек в R^n. Ограниченные, открытые, замкнутые множества в R^n. Граница множества, связное множество. Область. Теорема Больцано–Вейерштрасса. Функции нескольких переменных. График. Множество уровня. Предел. Непрерывность. Теорема Коши о промежуточном значении непрерывных функций. Теорема Вейерштрасса о наибольшем и наименьшем значении. Частные производные 1-го и высших порядков. Теорема Шварца о смешанных производных. Дифференцируемые функции. Связь дифференцируемости и непрерывности. Достаточное условие дифференцируемости в терминах частных производных. Градиент. Производная по направлению. Формула линеаризации. Касательная плоскость. Матрица Якоби и дифференцирование суперпозиции. Формула Тейлора с остаточным членом Лагранжа второго порядка. Экстремумы функции нескольких переменных. Задача об условном экстремуме. Теорема о неявной функции, ее геометрический смысл. Дифференцирование неявной функции. Правило множителей Лагранжа. Задача о максимуме и минимуме функции в замкнутой области. Литература: [1, главы 5-6], [2, отдел 6].
• Функциональные последовательности и ряды
  Поточечная сходимость функциональной последовательности и ее предел. Множество сходимости функциональной последовательности. Поточечная сходимость функционального ряда и его сумма. Множество сходимости функционального ряда. Равномерно сходящиеся функциональные последовательности и ряды, их свойства. Критерий равномерной сходимости. Необходимое условие равномерной сходимости. Условие Вейерштрасса, достаточное для равномерной сходимости. Интегрирование и дифференцирование предельной функции. Интегрирование и дифференцирование функциональных рядов. Литература: [1, глава 12], [2, отдел 5, §4].
• Степенные ряды. Ряды Тейлора.
  Множество сходимости степенного ряда. Радиус сходимости. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов. Теорема единственности для степенных рядов. Функции, являющиеся суммами степенных рядов. Ряд Тейлора; достаточное условие его сходимости к исходной функции. Ряды Тейлора основных элементарных функций. Использование рядов Тейлора для приближенного вычисления интегралов. Литература: [1, глава 12], [2, отдел 5, §5].

Элементы контроля

• Две контрольные работы и один коллоквиум в модулях 1-2
  О(нак 1-2) --- накопленная оценка за модули 1-2, равная среднему арифметичесому оценок, полученных за эти испытания.
• Две контрольные работы, коллоквиум и домашняя работа в модулях 3-4 .
  О(нак 3-4) --- накопленная оценка за модули 3-4, равная среднему арифметичесому оценок, полученных за эти испытания.
• Экзамен в конце 4 -го модуля.
  О(экз 3-4) --- оценка за этот экзамен.
• коллоквиум
• контрольная работа
• контрольная работа

Промежуточная аттестация

• Промежуточная аттестация (2 модуль)
  0.5 * Две контрольные работы и один коллоквиум в модулях 1-2 + 0.5 * эжкзамен в конце 2-го модуля
• Промежуточная аттестация (4 модуль)
  0.334 * коллоквиум + 0.333 * контрольная работа + 0.333 * контрольная работа

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.1: ., Фихтенгольц, Г. М., 2001
• Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.2: ., Фихтенгольц, Г. М., 2001
• Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.3: ., Фихтенгольц, Г. М., 2002
• Сборник задач и упражнений по математическому анализу : учеб. пособие для вузов, Демидович, Б. П., 2003

Рекомендуемая дополнительная литература

• Избранные задачи по вещественному анализу, Макаров, Б. М., 1992
• Что такое математика? : элементарный очерк идей и методов, Курант, Р., 2007