Теория вероятностей и математическая статистика

2019/2020

Учебный год

RUS

Обучение ведется на русском языке

5

Кредиты

Кто читает:

Департамент прикладной экономики

Статус:

Курс обязательный

Когда читается:

2-й курс, 1, 2 модуль

Преподаватели

Румянцева Екатерина Владимировна

Ужегов Алексей Александрович

Фурманов Кирилл Константинович

Шведов Алексей Сергеевич

Программа дисциплины

Аннотация

Дисциплина «Теория вероятностей и математическая статистика» является одной из наиболее важных, и если рассматривать ее как один из разделов чистой математики, и если смотреть на нее как на методологию для работы с числовой информацией. Во втором случае математическую статистику часто называют теорией статистического вывода. По мере изучения новых понятий и методов в курсе сразу же даются примеры их использования для решения задач экономики и управления, а также задач инженерного характера. Рассматриваются такие применения, как статистический контроль качества производимой продукции, анализ полезности и анализ риска, страхование, портфельная теория и другие. С одной стороны, в курс входит материал по теории вероятностей и математической статистике, который обычно включается в западные курсы бизнес-статистики. Здесь присутствует большое число задач-ситуаций из различных прикладных областей, где, иногда, самое трудное – это увидеть, какой из статистических методов следует применить для решения данной задачи. Но также в курс входит и материал, традиционно включаемый в программы российских технических и физических вузов с повышенной математической подготовкой.

Цель освоения дисциплины

• Приобретение студентами базовых знаний по теории вероятностей и математической статистике
• Формирование навыков работы с абстрактными понятиями высшей математики, в том числе, и с применением к конкретным прикладным задачам
• Формирование умения решать типовые задачи дисциплины
• Формирование у студентов трудолюбия, ответственности, добросовестного отношения к стоящим перед ними задачам

Планируемые результаты обучения

• Знает основные определения и результаты, относящиеся к событиям и случайным величинам, понимает пути практического применения, умеет решать задачи.
• Знает основные определения и результаты, относящиеся к функциям распределения случайных величин, понимает пути практического применения, умеет решать задачи.
• Знает основные определения и результаты, относящиеся к моментам случайных величин, понимает пути практического применения, умеет решать задачи
• Знает основные определения и результаты, относящиеся к условным вероятностям, понимает пути практического применения, умеет решать задачи.
• Знает основные определения и результаты, относящиеся к биномиальному распределению и нормальному распределению, понимает пути практического применения, умеет решать задачи.
• Знает основные определения и результаты, относящиеся к распределению Пуассона и некоторым другим распределениям, понимает пути практического применения, умеет решать задачи
• Знает основные определения и результаты, относящиеся к исследованию выборками, понимает пути практического применения, умеет решать задачи
• Знает основные определения и результаты, относящиеся к точечным оценкам, понимает пути практического применения, умеет решать задачи.
• Знает основные определения и результаты, относящиеся к интервальным оценкам, понимает пути практического применения, умеет решать задачи
• Знает основные определения и результаты, относящиеся к проверке гипотез, понимает пути практического применения, умеет решать задачи
• Знает основные определения и результаты, относящиеся к дисперсионному анализу, понимает пути практического применения, умеет решать задачи.
• Знает основные определения и результаты, относящиеся к совместным функциям распределения нескольких случайных величин, понимает пути практического применения, умеет решать задачи
• Знает основные определения и результаты, относящиеся к информации Фишера, понимает пути практического применения, умеет решать задачи
• Знает основные определения и результаты, относящиеся к цепям Маркова, понимает пути практического применения, умеет решать задачи

Содержание учебной дисциплины

• События и случайные величины
  Области практической деятельности и науки, где используются методы теории вероятностей и математической статистики. Основные понятия теории вероятностей и их соотнесение с соответствующими понятиями теории множеств. Вероятностное пространство, событие, случайная величина. Независимость событий. Независимость случайных величин.
• Функция распределения случайной величины
  Функции распределения случайных величин, свойства функций распределения. Непрерывные случайные величины. Функции плотности и их свойства. Квантили и мода. Равномерное распределение.
• Моменты случайных величин
  Числовые характеристики случайных величин в случае, когда вероятностное пространство конечно, и для непрерывных случайных величин. Математическое ожидание, дисперсия, стандартное отклонение, ковариация, корреляция. Их основные свойства.
• Условные вероятности
  Формула полной вероятности. Формула Байеса.
• Биномиальное распределение и нормальное распределение
  Схема испытаний Бернулли. Приближенные формулы Муавра – Лапласа. Основные свойства нормального распределения. Формулировка центральной предельной теоремы, примеры и пояснения к ней.
• Распределение Пуассона и некоторые другие распределения
  Определение и основные свойства. Пуассоновский поток событий. Экспоненциальное распределение и его связь с пуассоновским потоком событий. Связь распределения Пуассона с испытаниями Бернулли. Пуассоновская аппроксимация нормального распределения. Бета-распределение, гамма-распределение, логарифмически нормальное распределение, гипергеометрическое распределение, отрицательное биномиальное распределение, другие примеры распределений.
• Исследование выборками
  Прием, применяемый в математической статистике: набору из n наблюдений ставится в соответствие набор из n случайных величин. Некоторые широко используемые в математической статистике распределения вероятностей: хи-квадрат распределение, t-распределение, F-распределение. Генеральная совокупность, выборка. Точность результатов при проведении выборочных исследований. Простая случайная выборка. Выборочное среднее, его математическое ожидание и дисперсия (с учетом поправки на конечный размер генеральной совокупности). Выборочная дисперсия и ее математическое ожидание. Смещенная и несмещенная оценки для дисперсии по генеральной совокупности. Стратифицированная случайная выборка.
• Точечные оценки
  Сопоставление исследований выборками и оценок параметров распределений. Свойства оценок, несмещенность, состоятельность, эффективность. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел. Методы построения оценок, метод моментов и метод максимального правдоподобия. Оценка параметров биномиального, нормального, пуассоновского и равномерного распределений.
• Интервальные оценки
  Доверительные интервалы для среднего при известной и неизвестной дисперсии. Доверительные интервалы для пропорции. Доверительные интервалы для разности двух средних. Доверительные интервалы для дисперсии. Доверительное множество для векторного параметра.
• Проверка гипотез
  Простые и сложные гипотезы. Критерий выбора между основной и альтернативной гипотезами. Уровень значимости. Мощность критерия. Ошибки первого и второго рода. Двойственность проверки гипотез и построения доверительных интервалов. Тесты на нормальность и тесты Колмогорова – Смирнова. Проверка гипотез о соответствии наблюдений предполагаемому распределению вероятностей. Таблицы сопряженности признаков. Проверка гипотез о независимости признаков. Ранговые критерии.
• Дисперсионный анализ
  Однофакторный дисперсионный анализ, проверка гипотез о равенстве нескольких средних. Двухфакторный дисперсионный анализ.
• Совместная функция распределения нескольких случайных величин
  Маргинальные распределения. Условные распределения. Моменты случайных векторов. Многомерное нормальное распределение. Другие примеры многомерных распределений. Функция распределения функции случайной величины.
• Информация Фишера
  Информационное неравенство. Достаточные статистики.
• Цепи Маркова
  Определения и примеры. Теорема Маркова.

Элементы контроля

• контрольная работа
• контрольная работа
• домашнее задание
• экзамен
  При проведении экзамена студенты могут использовать статистические таблицы, пользоваться другими источниками информации нельзя.
• самостоятельная работа

Промежуточная аттестация

• Промежуточная аттестация (2 модуль)
  0.1 * домашнее задание + 0.15 * контрольная работа + 0.15 * контрольная работа + 0.6 * экзамен

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Теория вероятностей и математическая статистика - 2 (промежуточный уровень) : учеб. пособие, Шведов, А. С., 2007
• Теория вероятностей и математическая статистика : учеб. пособие для вузов, Шведов, А. С., 2005

Рекомендуемая дополнительная литература

• Бочаров, П. П. Теория вероятностей. Математическая статистика [Электронный ресурс] / П. П. Бочаров, А. В. Печинкин. - 2-е изд. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 296 с. - ISBN 5-9221-0633-3.
• Сборник задач по теории вероятностей и математической статистике : учеб. пособие для студентов экономических специальностей, Ратникова Т. А., 2004
• Теория вероятностей. Примеры и задачи/ВасильчикМ.Ю., АркашовН.С., КовалевскийА.П. и др., 2-е изд. - Новосиб.: НГТУ, 2014. - 124 с.: ISBN 978-5-7782-2487-2