Кто читает:: Направление «Бизнес-информатика» Высшей школы бизнеса НИУ ВШЭ

Статус:: Курс обязательный

Когда читается:: 1-й курс, 1 модуль

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Дисциплина «Математический анализ» направлена на формирование у студентов базовых знаний и навыков исследования функций с помощью математического аппарата, применения дифференциальных и интегральных методов для решения различных задач, в том числе возникающих в других дисциплинах.

Цель освоения дисциплины

Пприобретение студентами базовых знаний по математическому анализу и дифференциальным уравнениям.
Формирование навыков работы с абстрактными понятиями высшей математики.
Формирование умения решать типовые задачи дисциплины.
Знакомство с прикладными задачами дисциплины.

Планируемые результаты обучения

Целями освоения дисциплины «Математический анализ» являются: • приобретение студентами базовых знаний по математическому анализу и дифференциальным уравнениям; • формирование навыков работы с абстрактными понятиями высшей математики; • формирование умения решать типовые задачи дисциплины; • знакомство с прикладными задачами дисциплины.

Содержание учебной дисциплины

Дифференциальное исчисление функций одной переменной.
Числовые последовательности и действия над ними. Вещественные числа как последовательности. Ограниченные и неограниченные последовательности. Верхняя грань и точная верхняя грань числового множества, теорема о точной верхней грани. Предел последовательности. Геометрическая интерпретация предела последовательности. Единствен-ность предела. Ограниченность сходящейся последовательности. Теорема об арифметических действиях над сходящимися последовательностями. Переход к пределу в неравенствах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности, связь между ними. Эталонные последовательности. Монотонные последовательности. Теорема о сходимости монотонной ограниченной последовательности. Подпоследовательности числовой последовательности и ее предельные точки. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Верхний и нижний пределы последовательности. Понятие функции вещественной переменной, область определения и множество значений. Ограниченные функции. Предел функции в точке. Арифметические свойства пределов. Переход к пределу в неравенствах. Пределы слева и справа. Пределы функции на бесконечности (по Гейне). Бесконечно большие функции (в том числе знака и ) в конечной точке и на бесконечности. Первый и второй замечательные пределы. Бесконечно малые функции. Сравнение бесконечно малых функций: функции одного порядка малости, эквивалентные функции, бесконечно малые функции более высокого порядка. Символ о-малое и действия с ним. Асимптотические формулы: представление функции в виде суммы многочлена и бесконечно малой вели-чины. Алгоритмическая интерпретация асимптотических формул как аппроксимации произвольной функции с помощью вычислимой за конечное число действий функции (многочлена). Нахождение пределов функций с помощью асимптотических формул. Не-прерывность функции в точке. Непрерывность слева и справа. Сохранение непрерывно-сти в арифметических операциях. Непрерывность многочленов. Непрерывность элементарных функций. Сложная функция и ее непрерывность. Классификация точек разрыва функции: устранимые разрывы, точки разрыва 1-го и 2-го рода. Основные теоремы о не-прерывных функциях. Локальная ограниченность непрерывной функции. Устойчивость знака непрерывной функции. Теорема о корне непрерывной на сегменте функции и решение нелинейных уравнений. Теорема о принятии непрерывной на сегменте функцией любого промежуточного значения. Теорема об ограниченности непрерывной на сегменте функции (1-я теорема Вейерштрасса). Экстремальные задачи. Верхняя и нижняя грани функции. Теорема о достижении непрерывной на сегменте функцией верхней и нижней граней (2-я теорема Вейерштрасса). Производная. Касательная к графику функции и геометрический смысл производной. Физический смысл производной: производная как скорость изменения функции. Непрерывность функции, имеющей производную. Односторонние производные. Арифметические действия над производными. Производная обрат-ной функции. Производная сложной функции. Вычисление производных элементарных функций. Дифференциал функции. Его геометрический смысл. Инвариантность формы 1-го дифференциала. Производные высших порядков. Прикладной смысл производных высших порядков. Формула Лейбница. Производные n-го порядка некоторых элементар-ных функций. Использование асимптотических формул и дифференциалов в при-ближѐнных вычислениях. Вычисление иррациональных величин (корней натуральных чисел, синусов малых углов, чисел  и e). Приближенное решение задачи о сложном проценте. Основные теоремы о дифференцируемых функциях. Возрастание (убывание) функции в точке, достаточное условие выполнения этого свойства. Локальный максимум и локальный минимум функции. Необходимое условие локального экстремума (теорема Ферма).
Интегральное исчисление
Первообразная функция. Неопределенный интеграл. Их свойства. Таблица простейших неопределенных интегралов. Теоремы о замене переменной и об интегрировании по частям в неопределенном интеграле. Запись этих теорем в терминах дифференциалов. Дробно-рациональные функции (ДРФ), правильные ДРФ, каноническое разложение многочлена на линейные и квадратичные вещественные множители. Разложение правильной ДРФ на элементарные дроби. Интегрирование элементарных дробей. Примеры. Интегральные суммы и определенный интеграл, их геометрический смысл. Нижняя и верхняя суммы Дарбу и их свойства. Критерии интегрируемости функции. Теоремы о достаточных условиях интегрируемости функции. Пример неинтегрируемой функции. Основные свойства интегрируемых функций. Свойства операций над интегрируемыми функциями. Примеры. Интеграл с переменным верхним пределом. Теоремы о его непрерывности на сегменте и дифференцируемости в точке. Теорема о существовании первообразной на сегменте. Формула Ньютона-Лейбница. Теорема о замене переменной и формула интегрирования по частям в определенном интеграле. Теорема о среднем и ее следствие. Примеры. Элементы теории меры: понятия длины кривой, площади поверхности и объ-ема тела. Геометрические и физические приложения определенного интеграла: вычисле-ние длин, площадей, объемов, координат центра масс фигур. Вычисление интегральных величин в случае кривых, заданных параметрически. Теоретико-вероятностные приложения определѐнного интеграла: вычисление средних величин и дисперсии. Двукратные интегралы и их сведение к повторным. Примеры. Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода. Признаки сравнения сходимости таких интегралов. Следствия о сходимости и рас-ходимости в сравнении со степенной функцией. Абсолютная и условная сходимость не-собственных интегралов. Формулы интегрирования по частям. Теорема о замене переменной. Примеры.
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
Многомерные пространства. Множества и последовательности точек в них. Функции нескольких переменных. График и линии равного уровня функции двух переменных. Предел и непрерывность функции нескольких переменных. Основные свойства непрерывных функций нескольких переменных. Частные производные. Дифференцируемость. Первый дифференциал, инвариантность его формы. Касательная плоскость к графику и касательная к линии равного уровня функции двух переменных. Дифференцирование сложной функции. Градиент и производная по направлению. Примеры. Частные произ-водные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора для функции нескольких переменных. Примеры. Локальный экстремум функции нескольких переменных. Необходимые условия локального экстремума. Достаточные условия локального экстремума. Случай функции двух переменных. Примеры многокритериальной оптимизации: выбор оптимального сочетания факторов производства. Неявные функции, определяемые одним уравнением. Их существование и дифференцируемость. Неявные функции, определяемые системой нелинейных уравнений. Разрешимость системы нелинейных уравнений, вычисление частных производных решения. Матрица Якоби. Условный экстремум функции нескольких переменных с одним и с несколькими условиями связи. Метод исключения. Метод неопределенных множителей Лагранжа. Достаточные условия. Примеры многокритериальной оптимизации в условии ограничений: задача выбора производителя и задача выбора потребителя в условиях бюджетных ограничений.
Дифференциальные уравнения.
Основные определения. Метод разделения переменных. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Примеры: модель Мальтуса в демографии, модель Солоу в экономике, модель радиоактивного распада. Уравнение Бернулли. Уравнение Риккати. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными и уравнения к ним сводящи-еся. Дифференциальные уравнения в симметричной форме. Общий интеграл. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель. Задача Коши для дифференциального уравнения 1-го порядка. Формулировки теорем существования и единственности решений. Примеры и контрпримеры. Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка. Теорема существования и единственности решений задачи Коши. Определитель Вронского. Фундаментальная система решений (ФСР). Общее решение. Метод вариации постоянных. Случай уравнений с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Комплексная и вещественная ФСР. Решения для правых частей специального вида. Примеры. Линейные системы дифференциальных уравнений 1-го порядка. Теорема существования и единственности решений задачи Коши. Определитель Вронского. ФСР. Общее решение. Cлучай систем с постоянными коэффициентами. Пример: модель выравнивания цены по уровню актива. Случай уравнений с постоянными коэффициентами. Решения для правых частей специального вида. Устойчивость по Ляпунову и асимптотическая устойчивость стационарной точки системы дифференциальных уравнений. При-мер: модель динамики популяций (модель Вольтерры-Лотки). Случай линейной системы. Классификация стационарной точки системы с двумя неизвестными. Нелинейные автономные системы: линеаризация в окрестности стационарной точки, теорема об устойчивости по первому приближению. Пример.

Элементы контроля

Контрольная работа 1
Контрольная работа 2

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (1 модуль)
0.5 * Контрольная работа 1 + 0.5 * Контрольная работа 2

Бакалаврская программа «Управление информационными технологиями в бизнесе »

Адрес

Математический анализ

Программа дисциплины

Аннотация

Цель освоения дисциплины

Планируемые результаты обучения

Содержание учебной дисциплины

Элементы контроля

Промежуточная аттестация

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

Рекомендуемая дополнительная литература