Линейная алгебра

2020/2021

Учебный год

RUS

Обучение ведется на русском языке

4

Кредиты

Кто читает:

Факультет математики

Статус:

Курс обязательный

Когда читается:

2-й курс, 1, 2 модуль

Преподаватели

Алфимов Михаил Николаевич

Горбунов Василий Геннадьевич

Программа дисциплины

Аннотация

Курс "Линейная алгебра" направлен на знакомство студентов с основными понятиями и методами линейной алгебры. При изучении этого курса студенты получат знания о современной алгебре и её месте в математике, познакомятся с понятиями систем линейных уравнений, векторных пространств, матриц, а также научатся решать стандартные задачи линейной алгебры и применять методы линейной алгебры в других математических и физических дисциплинах. Изучение данной дисциплины базируется на знаниях, полученных студентами при освоении школьного курса математики. Основные положения дисциплины используются в дальнейшем при изучении таких дисциплин, как "Дифференциальные уравнения", "Теория вероятностей", а также профильных биологических дисциплин.

Цель освоения дисциплины

• Формирование и развитие у студентов структурно-алгебраического мышления и умения видеть общие алгебраические конструкции в различных областях математики
• Освоение фундаментальных понятий и вычислительных методов линейной алгебры
• Наработка опыта использования и применения изучаемых методов к исследованию и решению конкретных задач

Планируемые результаты обучения

• Освоение методов решения систем линейных уравнений
• Знакомство с основными понятиями линейной алгебры
• Знакомство с основными понятиями и методами линейной алгебры и отработка навыков их применения при решении задач

Содержание учебной дисциплины

• Системы линейных уравнений
  Методы системы решения линейных уравнений. Метод Гаусса. Фундаментальная система решений.
• Векторные пространства
  Векторное пространство, базис и размерность. Векторные подпространства, свойства подпространств. Сопряженное пространство.
• Линейные отображения
  Линейные отображения. Матрицы линейных отображений. Композиция линейных отображений и произведение матриц. Ядро и образ линейного отображения. Сопряженное отображение.
• Линейные операторы
  Линейные операторы. Определитель линейного оператора. Определитель композиции операторов.
• Скалярное произведение
  Скалярное произведение. Ортогонализация Грама-Шмидта.
• Билинейные и квадратичные формы
  Симметрические билинейные формы и квадратичные формы. Поляризация. Диагонализуемость. Методы Лагранжа и Якоби. Индекс инерции квадратичной формы, критерий Сильвестр
• Евклидово и эрмитово пространство
  Евклидово и эрмитово пространство. Метрическая геометрия. Псевдоевклидово пространство, пространство Минковского.
• Векторное пространство с оператором
  Преобразование линейного оператора при смене базиса. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Характеристический многочлен. Диагонализуемость.
• Евклидово и эрмитово пространство с оператором
  Симметрические, кососимметрические, ортогональные, эрмитовы, косоэрмитовы, унитарные операторы. Собственные значения, диагонализуемость. Линейные операторы и билинейные функции в пространстве со скалярным произведением.
• Жорданова нормальная форма
  Корневые векторы. Разложение пространства с оператором в прямую сумму корневых подпространств. Нильпотентные операторы.
• Группы
  Действие группы на множестве. Примеры: простейшие конечные группы, группы отражений, кристаллографические группы. Гомоморфизмы групп.
• Тензоры
  Примеры тензоров. Двойственность и свертки. Симметрические и кососимметрические тензоры.
• Кольца вычетов
  Изучение колец вычетов для целых чисел и для многочленов
• Поля
  Изучение основ алгебраической теории конечных и бесконечных полей
• Геометрия кватернионов, понимаемых как комплексные матрицы 2x2, инвариантные относительно вещественной структуры, переводящей стандартную эрмитову форму на пространстве матриц в поляризацию квадратичной формы det.
  Норма, обращение, образующие и соотношения. Корни уравнения q^2=-1 образуют сферу S^2 чисто мнимых кватернионов нормы 1. Сфера S^3 всех кватернионов нормы 1 — это унитарная группа SU(2), действие кватерниона q∈SU(2) сопряжением на пространстве I ≅ R^3 чисто мнимых кватернионов является поворотом вокруг прямой, которая высекается из I плоскостью П(q), порождённой 1 и q, на угол, равный удвоенному аргументу кватерниона q, рассматриваемого как комплексное число в плоскости П(q), отождествлённой с C по правилу x +iy∈С ↔ x∙1 + y∙v(q)∈П(q), где v(q) — единичный направляющий вектор прямой I ∩ П(q), глядя вдоль которого измеряется угол поворота пространства I относительно этой прямой. Универсальное накрытие Универсальное накрытие SU(2) →→ SO(3), расслоение Хопфа S^3 →→ S^2.
• Группы
  Основы теории групп, включая действия групп на множествах
• Линейная алгебра
  Изучение основ линейной алгебры
• Линейные операторы и матрицы
  Определения: линейные операторы, матрица линейного оператора. Примеры: линейные отображения плоскости, умножение на многочлен и дифференцирование, умножение на элемент расширения полей. Матрица композиции двух линейных отображений с известными матрицами.
• Векторные пространства
  Определения: векторные пространства над полем, подпространства, векторы, линейные комбинации векторов, линейная зависимость. Примеры: координатное пространство, кольцо многочленов над полем, расширение поля, пространства над полем из двух элементов.
• Размерность и базисы
  Определения: порождающий набор, базис, размерность. Приведение матрицы к ступечатому виду элементарными преобразованиями строк. Классификация конечномерных векторных пространств. Замена координат.
• Объёмы и определители
  Определения: равносоставленность, ориентированный объём параллелепипеда, определитель квадратной матрицы. Примеры: площадь параллелограмма, явные формулы для определителей порядка 1, 2 и 3. Определитель как объем. Формула разложения определителя по строке.

Элементы контроля

• Контрольные работы
• Письменный экзамен

Промежуточная аттестация

• Промежуточная аттестация (2 модуль)
  0.4 * Контрольные работы + 0.6 * Письменный экзамен

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Курс алгебры, Винберг, Э. Б., 2013

Рекомендуемая дополнительная литература

• Лекции по линейной алгебре, Гельфанд, И. М., 1998