Теория вероятностей

2022/2023

Учебный год

RUS

Обучение ведется на русском языке

5

Кредиты

Кто читает:

Департамент больших данных и информационного поиска

Статус:

Курс обязательный

Когда читается:

2-й курс, 1, 2 модуль

Преподаватель

Краснов Иван Вячеславович

Программа дисциплины

Аннотация

В курсе будут изложены основные понятия теории вероятностей. Начиная с классической вероятностной модели, мы перейдём к построению аксиоматики Колмогорова. Не слишком углубляясь в функциональный анализ, будет изложен современный язык теории вероятностей, дано определение случайной величины. Будут рассмотрены дискретные и непрерывные случайные величины, их характеристики и свойства. Будут сформулированы и доказаны такие важные результаты как предельные теоремы, закон больших чисел, центральная предельная теорема и др. Классические распределения будут возникать в том числе в задачах, при этом мы будем отдельно отмечать смысл и приложения данных распределений, тем самым подчеркивая прикладное значение теории вероятностей. В заключении курса мы поговорим о характеристических функциях и многомерных распределениях.

Цель освоения дисциплины

• По окончании данного курса студенты смогут ориентироваться в терминологии и аксиоматике современной теории вероятностей, а также понимать необходимость её возникновения. На примере прикладных задач научатся строить вероятностные модели, которые имеют множество приложений.

Планируемые результаты обучения

• Вспомнить формулы комбинаторики.
• Сформулировать основные этапы развития теории вероятностей, продемонстрировав необходимость создания аксиоматики Колмогорова.
• Применить построенную классическую модель к решению задач на соответствующую тему.
• Интерпретация классической модели в геометрических задачах
• Изучение последовательностей независимых испытаний, связанных в схему Бернулли.
• Построение различных моделей вероятностного пространства.
• Парадокс Бертрана.
• Объяснение понятия условной вероятности, вывод теоремы умножения, формулы полной вероятности, формулы Байеса.
• Построение примера с тетраэдром Бернштейна.
• Иллюстрация необходимости изучения асимптотики распределений.
• Решение типовых задач, в которых возникает необходимость применения данных теорем.
• Построение вероятностного пространства.
• Изучение понятия функции распределения случайной величины, свойств, графика.
• Изучение свойств математического ожидания и дисперсии.
• Вычисление математического ожидания и дисперсий для основных распределений.
• Абсолютно непрерывная случайная величина как “обобщение” дискретной случайной величины. Построение примеров.
• Доказательство заявленных результатов.

Содержание учебной дисциплины

• Элементы комбинаторики. Вероятностные модели. Понятие случайного испытания. Пространство элементарных событий. Операции над событиями. Полная система событий. Классическая вероятностная модель.
• Формулы классической вероятности
• Предельные теоремы для схемы Бернулли
• Аксиоматика Колмогорова и одномерные случайные величины
• Абсолютно непрерывные случайные величины
• Неравенства Маркова и Чебышёва. Достаточное условие применимости закона больших чисел

Элементы контроля

• ДЗ
• КЛ
• РАБОТА НА СЕМИНАРАХ
• КР
• Экзамен

Промежуточная аттестация

• 2022/2023 учебный год 2 модуль
  0.075 * КР + 0.15 * ДЗ + 0.025 * РАБОТА НА СЕМИНАРАХ + 0.1 * КЛ + 0.4 * Экзамен

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Вероятность -. Кн.1: Вероятность - 1 : элементарная теория вероятностей. Математические основания. Предельные теоремы, Ширяев, А. Н., 2007
• Вероятность -. Кн.2: Вероятность - 2 : суммы и последовательности случайных величин - стационарные, мартингалы, марковские цепи, Ширяев, А. Н., 2007

Рекомендуемая дополнительная литература

• Курс теории вероятностей, Чистяков, В. П., 2000