• A
  • A
  • A
  • АБВ
  • АБВ
  • АБВ
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта

Бакалаврская программа «Экономика»

Теория вероятностей и статистика

2019/2020
Учебный год
RUS
Обучение ведется на русском языке
10
Кредиты
Статус:
Курс обязательный
Когда читается:
2-й курс, 1-4 модуль

Преподаватели

Программа дисциплины

Аннотация

Курс Теория вероятности и Статистика предназначен для студентов бакалавриата направления 38.03.01 Экономика, прослушавших курсы линейной алгебры и математического анализа. В курсе рассматриваются основные понятия теории вероятностей и математической статистики, основные законы распределения случайных величин, методы оценивания неизвестных параметров распределений, основы проверки статистических гипотез. В ходе курса студенты учатся применять простейшие вероятностные модели, делать статистически обоснованные выводы, обрабатывать статистические данные с помощью современных пакетов программ для анализа данных на ПЭВМ.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Целями дисциплины «Теория вероятностей и статистика» являются овладение студентами навыками применения стандартных методов и моделей к решению вероятностных и статистических задач, обрабатывания статистической информации и получения статистически обоснованных выводов.
Результаты освоения дисциплины

Результаты освоения дисциплины

  • Знание основных понятий теории вероятностей, умение находить вероятности событий, описываемых изученными случайными экспериментами
  • Знание изученных дискретных и непрерывных вероятностных моделей и умение находить вероятности различных событий в рамках этих моделей.
  • Знание изученных определений, умение вычислять характеристики распределений случайных величин и векторов при заданном законе распределения, находить математическое ожидание и ковариационную матрицу при преобразовании случайных векторов.
  • Знание изученных распределений и их свойств, умение пользоваться статистическими таблицами
  • Умение вычислять и интерпретировать характеристики выборки
  • Умение строить доверительные интервалы для неизвестных параметров распределений
  • Умение проверять статистические гипотезы
  • Умение использовать непараметрические критерии для проверки статистических гипотез
  • Умение применять и интерпретировать дисперсионный анализ
  • Понимание принципов Байесовского подхода и умение решать простейшие задачи Байесовского оценивания
  • Знание статистических свойств оценок параметров распределений
  • Умение находить оценки неизвестных параметров распределений
  • Знание предельных теорем теории вероятностей
  • Умение вычислять вероятности с помощью центральной предельной теоремы, неравенств Чебышёва и Маркова
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Тема 1. Вероятности событий
    Вероятностная модель эксперимента с конечным числом исходов. События. Основные правила действий с событиями и их вероятностями. Независимость событий. Условная вероятность. Формула полной веро-ятности. Формула Байеса. Схема испытаний Бернулли. Теорема Пуассона о прибли-женной формуле для вероятно-сти получения k успехов в n не-зависимых испытаниях.
  • Тема 2. Случайные величины и случайные векторы
    Вероятностная модель эксперимента с бесконечным числом исходов. Понятие об аксиоматике Колмогорова. Случайные величины. Функция распределения случайной величины и ее основные свойства. Дискретные и абсолютно непрерывные распределения. Функция плотности. Основные дискретные распре-деления: биномиальное, Пуассона, гипергеометрическое, отрицательное биномиальное. Примеры непрерывных распре-делений. Понятие о случайном векторе. Совместное распределение нескольких случайных величин. Независимость случайных величин. Маргинальные распределения. Условное распределение. Многомерное нормальное распределение и его свойства
  • Тема 3. Характеристики распределений случайных величин и случайных векторов.
    Математическое ожидание и дисперсия случайной величины и их свойства. Преобразования случайных величин, их распределения и характеристики. Математическое ожидание и ковариационная матрица случайного вектора. Коэффициент корреляции. Условное распределение и условное математическое ожидание.
  • Тема 4. Предельные теоремы
    Неравенство Маркова. Неравенство Чебышёва. Виды сходимости последовательностей случайных величин. Закон Больших чисел. Центральная предельная теорема
  • Тема 5. Некоторые одномерные распределения, используемые в математической статистике
    Определение и свойства Хи-квадрат распределения, распре-деления Стьюдента и Фишера. Их основные свойства. Работа с таблицами распределений.
  • Тема 6. Основные понятия статистики
    Задачи статистики. Понятия генеральной совокупности и выборки. Репрезентативность выборки. Эмпирическая функция распределения. Полигон частот и гистограмма. Выборочные моменты и квантили. Выборочный коэффициент корреляции. Асимптотическое поведение выборочных моментов. Стратифицированная случайная выборка. Стратифицированное выборочное среднее. Дисперсия выборочного среднего при оптимальном и при пропорциональном размещении.
  • Тема 7. Статистическое оценивание неизвестных параметров распределений
    Точечные оценки. Свойства оценок: несмещенность, состоятельность, эффективность. Метод моментов и метод наибольшего правдоподобия. Оценка параметров биномиального, нормального и равномерного распределений. Информация Фишера. Неравенство Рао-Крамера-Фреше.
  • Тема 8. Доверительные интервалы
    Понятие о доверительных интервалах и принципах их построения. Доверительные интервалы для среднего при известной и неизвестной дисперсии. Доверительные интервалы для пропорции. Доверительные интервалы для дисперсии. Доверительные интервалы для разности двух средних Асимптотические доверительные интервалы для параметров функции правдоподобия. Дельта-метод.
  • Тема 9. Статистическая проверка гипотез
    Проверка гипотез. Простые и сложные гипотезы. Критерий выбора между основной и альтернативной гипотезами. Уровень значимости. Ошибки первого и второго рода. Мощность критерия. Наиболее мощный критерий. Проверка гипотез и доверительное оценивание. Параметрические гипотезы. Проверка гипотез о математическом ожидании, пропорции и дисперсии. Проверка гипотез о разности двух средних, разности двух пропорций. Проверка гипотез о равенстве двух дисперсий нормальных распределений. Лемма Неймана-Пирсона. Критерий отношения правдоподобия. Критерии согласия: Критерий Пирсона хи-квадрат. Критерий согласия Колмогорова. Проверка гипотезы о независимости признаков. Проверка гипотезы об однородности данных.
  • Тема 10. Непараметрические критерии
    Непараметрические критерии. Критерий знаков. Критерии Вилкоксона, Манна-Уитни. Коэффициент корреляции Спирмена.
  • Тема 12. Введение в Байесовские методы
    Байесовский подход к оцениванию параметров и прогнозированию. Априорное и апостериорное распределение. Сопряжённые распределения. Байесовские интервалы. Монте Карло по схеме марковской цепи. Алгоритм Гиббса. Алгоритм Метрополиса-Гастингса. Байесовские аналоги классических тестов.
  • Тема 11. Дисперсионный анализ
    Однофакторный и многофакторный дисперсионный анализ
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий контрольная работа 1
    контрольные работы для пропустивших их по уважительной причине проводятся в день экзамена
  • неблокирующий контрольная работа 2
    см. комментарий к к.р.1
  • неблокирующий экзамен
  • неблокирующий контрольная работа 3
    см. комментарии к к.р. 1
  • неблокирующий контрольная работа 4
    см. комментарии к к.р.1
  • неблокирующий домашнее задание
    содержание и форма домашнего задания определяются преподавателем, ведущим семинары
  • неблокирующий экзамен
  • неблокирующий аудиторная активность
  • неблокирующий самостоятельная работа
    оценка по 10-ти балльной шкале за самостоятельное прохождение миникурсов на DataCamp
  • неблокирующий аудиторная активность
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (2 модуль)
    0.05 * аудиторная активность + 0.1 * домашнее задание + 0.275 * контрольная работа 1 + 0.275 * контрольная работа 2 + 0.3 * экзамен
  • Промежуточная аттестация (4 модуль)
    0.05 * аудиторная активность + 0.1 * домашнее задание + 0.275 * контрольная работа 3 + 0.275 * контрольная работа 4 + 0.3 * экзамен
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Теория вероятностей и математическая статистика - 2 (промежуточный уровень) : учеб. пособие, Шведов А. С., 2007
  • Теория вероятностей и математическая статистика : учеб. пособие для вузов, Шведов А. С., 2005

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Jaynes, E. T., & Bretthorst, G. L. (2003). Probability Theory : The Logic of Science. Cambridge, UK: Cambridge University Press. Retrieved from http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=true&site=eds-live&db=edsebk&AN=120310
  • Reviewed William, G. Faris, E. T. Jaynes, & Edited G. Larry Bretthorst. (n.d.). Probability Theory: The Logic of Science. Retrieved from http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=true&site=eds-live&db=edsbas&AN=edsbas.209D9D8C