Математический анализ

2019/2020

Учебный год

RUS

Обучение ведется на русском языке

8

Кредиты

Кто читает:

Факультет математики

Статус:

Курс обязательный

Когда читается:

2-й курс, 1-4 модуль

Преподаватели

Бланк Михаил Львович

Глуцюк Алексей Антонович

Дунин-Барковский Петр Игоревич

Мариани Мауро

Пушкарь Петр Евгеньевич

Скопенков Михаил Борисович

Скрипченко Александра Сергеевна

Такэбэ Такаси

Хорошкин Сергей Михайлович

Чепыжов Владимир Викторович

Программа дисциплины

Аннотация

Курс посвящен 1) знакомству с основными понятиями, конструкциями и результатами теории меры и интеграла Лебега и связаннми с интегралом Лебега концепциями теории функции действительного переменного (абсолютно непрерывные функции, функции ограниченной вариации, интеграл Лебега-Стильтьеса) и 2) знакомству с рядами и преобразованием Фурье и их свойствами и применениями, а также с теорией обобщенных функций.

Цель освоения дисциплины

• Знакомство с основными понятиями, конструкциями и результатами теории меры и интеграла Лебега.
• Знакомство с рядами и преобразованием Фурье и их свойствами и применениями, а также знакомство с теорией обобщенных функций.

Планируемые результаты обучения

• знакомство с основными понятиями, конструкциями и результатами теории меры и интеграла Лебега
• Знакомство с Евклидовым пространством, ортогональными базисами и процессом ортогонализации.
• Знакомство с неравенством Бесселя, замкнутыми ортогональными системы и равенством Парсеваля.
• Знакомство с гилбертовыми пространствами
• Знакомство с пространствами L1 и L2
• Различные типы сходимости
• Знакомство с рядами Фурье. Свойства и применение
• Знакомство с задачами Штурма-Лиувилля. Собственные значения и собственные функции. Полнота системы собственных функций
• Применение интеграла Фурье
• Преобразования Фурье. Свойства и применение
• Знакомство с обобщенными функциями и действиям с ними

Содержание учебной дисциплины

• Меры, мера Лебега
• Измеримые функции, сходимость по мере
• Интеграл Лебега
• Теория дифференцирования (абсолютно непрерывные функции, функции ограниченной вариации)
• Нормированные и банаховы пространства. Примеры.
• Евклидово пространство. Ортогональные базисы. Процесс ортогонализации.
• Неравенство Бесселя. Замкнутые ортогональные системы. Равенство Парсеваля.
• Вещественный и комплексные гильбертовы пространства. Теорема об изоморфизме.
• Пространства L1 и L2. Теоремы о полноте этих пространства.
• Различные типы сходимости: равномерная, в среднем, почти всюду, по мере.
• Ортогональные системы функций в L2. Тригонометрические ряды Фурье.
• Многочлены Лежандра и Чебышева. Ряды Фурье в n-мерном пространстве.
• Условия сходимости ряда Фурье в точке. Интеграл Дирихле. Условие Дини.
• Условия равномерной сходимости ряда Фурье. Теорема Фейера.
• Полнота тригонометрической системы. Теоремы Вейерштрасса.
• Гладкость функции и скорость убывания коэффициентов ряда Фурье.
• Применение рядов Фурье. Изопериметрическое неравенство. Метод Фурье разделения переменных.
• Решение методом Фурье одномерного уравнения теплопроводности на отрезке.
• Решение методом Фурье уравнения упругих колебаний струны.
• Задача Штурма-Лиувилля. Собственные значения и собственные функции. Полнота системы собственных функций.
• Интеграл Фурье. Теорема об обращении. Интеграл Фурье в комплексной форме.
• Преобразование Фурье в пространстве L1(R).
• Преобразование Фурье в пространстве Шварца и его свойства. Свертка функций.
• Применение преобразования Фурье для решения уравнения теплопроводности в R^1. Формула Пуассона.
• Решение уравнения теплопроводности в R^n. Решение уравнения упругих колебаний бесконечной струны с помощью преобразования Фурье.
• Преобразование Фурье свертки функций. Преобразование Фурье в пространстве L2(R). Теорема Планшереля.
• Обобщенные функции и действия с ними.

Элементы контроля

• Экзамен
• Коллоквиум
• Сдача листков
• Работа на семинарах

Промежуточная аттестация

• Промежуточная аттестация (2 модуль)
  Оценка за семестр является средневзвешенной оценкой за экзамен (0.25), коллоквиум (0.25), участие в семинарах (0.3) и оценкой за листки (0.2); в скобках указаны веса компонентов. Оценка за семинары выставляется семинаристом на основании активности работы на семинарах и результатов проведенных контрольных работ.
• Промежуточная аттестация (4 модуль)
  Итоговая оценка за семестр является взвешенной суммой из четырех компонент: участие в семинарах, сдача листков, коллоквиум и экзамен, которые выставляются по 10-балльной шкале. В итоговую оценку компоненты входят со следующими весами: ● участие в семинарах — 0,3 ● сдача задач листков — 0,3 ● коллоквиум — 0,25 ● экзамен — 0,25

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Элементы теории функций и функционального анализа, Колмогоров, А. Н., 2006

Рекомендуемая дополнительная литература

• Краткий курс функционального анализа : учеб. пособие, Люстерник, Л. А., 2009