• A
  • A
  • A
  • АБВ
  • АБВ
  • АБВ
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта

Математический анализ

2019/2020
Учебный год
RUS
Обучение ведется на русском языке
8
Кредиты
Статус:
Курс обязательный
Когда читается:
2-й курс, 1-4 модуль

Преподаватели

Программа дисциплины

Аннотация

Курс посвящен 1) знакомству с основными понятиями, конструкциями и результатами теории меры и интеграла Лебега и связаннми с интегралом Лебега концепциями теории функции действительного переменного (абсолютно непрерывные функции, функции ограниченной вариации, интеграл Лебега-Стильтьеса) и 2) знакомству с рядами и преобразованием Фурье и их свойствами и применениями, а также с теорией обобщенных функций.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Знакомство с основными понятиями, конструкциями и результатами теории меры и интеграла Лебега.
  • Знакомство с рядами и преобразованием Фурье и их свойствами и применениями, а также знакомство с теорией обобщенных функций.
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • знакомство с основными понятиями, конструкциями и результатами теории меры и интеграла Лебега
  • Знакомство с Евклидовым пространством, ортогональными базисами и процессом ортогонализации.
  • Знакомство с неравенством Бесселя, замкнутыми ортогональными системы и равенством Парсеваля.
  • Знакомство с гилбертовыми пространствами
  • Знакомство с пространствами L1 и L2
  • Различные типы сходимости
  • Знакомство с рядами Фурье. Свойства и применение
  • Знакомство с задачами Штурма-Лиувилля. Собственные значения и собственные функции. Полнота системы собственных функций
  • Применение интеграла Фурье
  • Преобразования Фурье. Свойства и применение
  • Знакомство с обобщенными функциями и действиям с ними
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Меры, мера Лебега
  • Измеримые функции, сходимость по мере
  • Интеграл Лебега
  • Теория дифференцирования (абсолютно непрерывные функции, функции ограниченной вариации)
  • Нормированные и банаховы пространства. Примеры.
  • Евклидово пространство. Ортогональные базисы. Процесс ортогонализации.
  • Неравенство Бесселя. Замкнутые ортогональные системы. Равенство Парсеваля.
  • Вещественный и комплексные гильбертовы пространства. Теорема об изоморфизме.
  • Пространства L1 и L2. Теоремы о полноте этих пространства.
  • Различные типы сходимости: равномерная, в среднем, почти всюду, по мере.
  • Ортогональные системы функций в L2. Тригонометрические ряды Фурье.
  • Многочлены Лежандра и Чебышева. Ряды Фурье в n-мерном пространстве.
  • Условия сходимости ряда Фурье в точке. Интеграл Дирихле. Условие Дини.
  • Условия равномерной сходимости ряда Фурье. Теорема Фейера.
  • Полнота тригонометрической системы. Теоремы Вейерштрасса.
  • Гладкость функции и скорость убывания коэффициентов ряда Фурье.
  • Применение рядов Фурье. Изопериметрическое неравенство. Метод Фурье разделения переменных.
  • Решение методом Фурье одномерного уравнения теплопроводности на отрезке.
  • Решение методом Фурье уравнения упругих колебаний струны.
  • Задача Штурма-Лиувилля. Собственные значения и собственные функции. Полнота системы собственных функций.
  • Интеграл Фурье. Теорема об обращении. Интеграл Фурье в комплексной форме.
  • Преобразование Фурье в пространстве L1(R).
  • Преобразование Фурье в пространстве Шварца и его свойства. Свертка функций.
  • Применение преобразования Фурье для решения уравнения теплопроводности в R^1. Формула Пуассона.
  • Решение уравнения теплопроводности в R^n. Решение уравнения упругих колебаний бесконечной струны с помощью преобразования Фурье.
  • Преобразование Фурье свертки функций. Преобразование Фурье в пространстве L2(R). Теорема Планшереля.
  • Обобщенные функции и действия с ними.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Экзамен
  • неблокирующий Коллоквиум
  • неблокирующий Сдача листков
  • неблокирующий Работа на семинарах
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (2 модуль)
    Оценка за семестр является средневзвешенной оценкой за экзамен (0.25), коллоквиум (0.25), участие в семинарах (0.3) и оценкой за листки (0.2); в скобках указаны веса компонентов. Оценка за семинары выставляется семинаристом на основании активности работы на семинарах и результатов проведенных контрольных работ.
  • Промежуточная аттестация (4 модуль)
    Итоговая оценка за семестр является взвешенной суммой из четырех компонент: участие в семинарах, сдача листков, коллоквиум и экзамен, которые выставляются по 10-балльной шкале. В итоговую оценку компоненты входят со следующими весами: ● участие в семинарах — 0,3 ● сдача задач листков — 0,3 ● коллоквиум — 0,25 ● экзамен — 0,25
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Элементы теории функций и функционального анализа, Колмогоров А. Н., Фомин С. В., 2006