Научно-исследовательский семинар "Гладкие многообразия"

2019/2020

Учебный год

RUS

Обучение ведется на русском языке

6

Кредиты

Кто читает:

Факультет математики

Статус:

Курс обязательный

Когда читается:

2-й курс, 1-3 модуль

Преподаватели

Вьюгин Илья Владимирович

Глуцюк Алексей Антонович

Дунин-Барковский Петр Игоревич

Маршалл Йен Донен

Побережный Владимир Андреевич

Ровинский Марат Зефирович

Программа дисциплины

Аннотация

Дисциплина “Гладкие многообразия” посвящена аналитическим и геометрическим аспектом теории гладких многообразий. В результате прохождения курса студенты должны владеть понятиями, изучаемыми в курсе, а также применять их для выполнения операций анализа функций, заданных на многообразии.

Цель освоения дисциплины

• Освоение аналитических и геометрических аспектов теории гладких многообразий.

Планируемые результаты обучения

• Знакомство с определениями и базовыми свойствами кривых и поверхностей в R^n. Знакомство с формулами Френе в R^2 и R^3. Знакомство с теорема о неявной функции. Знакомство с определением касательного пространство к поверхности в R^n.
• Знакомство с определением многообразий с помощью атласов, подмногообразий и морфизмов многообразий.
• Знакомство с тремя определениями касательного вектора. Знакомство с определением дифференциала отображения, векторных полей, касательного расслоения, коммутаторов векторных полей.
• Знакомство с определением и базовыми свойствами дифференциальных форм в R^n и на поверхностях в R^n. Знакомство с конструкцией разбиения единицы.
• Знакомство с определением и базовыми свойствами дифференциальных форм на многообразиях. Знакомство с интегрированием дифференциальных форм.
• Знакомство с определением многообразий с краем. Знакомство с формулой Стокса и ее следствиями.
• Знакомство с определением и основными свойствами когомологий де Рама и доказательством их гомотопической инвариантности. Знакомство с леммой Пуанкаре и ее доказательством.
• Знакомство с определением и свойствами производной Ли и дифференциальных идеалов.
• Знакомство с понятием распределений и формулировкой теоремы Фробениуса.
• Знакомство с определением и свойствами римановой метрики. Знакомство с римановой связностью на поверхности в R^3.
• Знакомство с ковариантным дифференцированием в общем случае и символами Кристоффеля.

Содержание учебной дисциплины

• Кривые и поверхности в R^n
  Кривые и поверхности в R^n. Формулы Френе в R^2 и R^3. Теорема о неявной функции (напоминание). Касательное пространство к поверхности в R^n.
• Определение многообразия
  Задание многообразий с помощью атласов. Подмногообразия. Морфизмы многообразий.
• Касательные пространства и векторные поля
  Три определения касательного вектора. Дифференциал отображения. Векторные поля. Понятие касательного расслоения. Коммутаторы векторных полей.
• Дифференциальные формы на R^n
  Элементы линейной алгебры. Дифференциальные формы в R^n и на поверхности в R^n. Разбиение единицы.
• Дифференциальные формы на многообразиях
  Дифференциальные формы на многообразиях. Интегрирование дифференциальных форм.
• Формула Стокса
  Многообразия с краем. Формула Стокса. Следствия.
• Когомологии де Рама
  Когомологии де Рама и их гомотопическая инвариантность. Лемма Пуанкаре.
• Производная Ли
  Производная Ли. Дифференциальные идеалы.
• Теорема Фробениуса
  Распределения. Теорема Фробениуса (формулировка)
• Римановы многообразия
  Риманова метрика. Риманова связность на поверхности в R^3.
• Связности в векторных расслоениях
  Ковариантное дифференцирование в общем случае, символы Кристоффеля.

Элементы контроля

• Устный экзамен
• Сдача листков
• Контрольные работы
• Коллоквиумы

Промежуточная аттестация

• Промежуточная аттестация (3 модуль)
  Итоговая оценка по дисциплине определяется по накопленной оценке (вес 80%) и блокирующей оценке за экзамен (вес 20%). При этом студент, имеющий накопленную оценку 7,5 и выше, освобождается от экзамена и получает итоговую оценку, равную накопленной. Накопленная оценка является взвешенной суммой следующих компонентов: два коллоквиума (первый в сессию первого модуля, второй в январе—феврале) — общий вес 35%; контрольные работы (как минимум по одной в конце каждого модуля) — общий вес 25%; сдача листков — вес 40 %.

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Математический анализ. Т. 1: ., Зорич, В. А., 2015
• Математический анализ. Т. 2: ., Зорич, В. А., 2015

Рекомендуемая дополнительная литература

• Новиков С.П., Тайманов И.А. - Современные геометрические структуры и поля - Московский центр непрерывного математического образования - 2005 - 584с. - ISBN: 978-5-94057-102-6 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/9379