• A
  • A
  • A
  • АБВ
  • АБВ
  • АБВ
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта

Введение в алгебраическую топологию

2019/2020
Учебный год
RUS
Обучение ведется на русском языке
6
Кредиты
Статус:
Дисциплина общефакультетского пула
Когда читается:
1, 2 модуль

Программа дисциплины

Аннотация

Одна из наиболее ярких черт, отличающих математику XX века от всей предшествующей — появление и развитие алгебраической топологии. В настоящее время использование алгебро-топологического инструментария стало непременным атрибутом значительной части математических исследований. Сочетание геометрических идей с формализованными алгебраическими алгоритмами для вычисления топологических инвариантов привели к эффективному средству изучения многих математических структур, в том числе, и не связанных напрямую с топологией. Эта область математики породила, например, такие направления как гомологическая алгебра и теория алгебр Хопфа. В курсе предлагается значительное количество задач на вычисление алгебротопологических характеристик различных топологических пространств
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Целью курса является знакомство с базовыми понятиями топологии: симплициальные комплексы, симплициальные отображения, пути, гомотопии путей, фундаментальная группа, накрытия, цепные комплексы векторных пространств, гомологии, когомологии, двойственность Пуанкаре.
Результаты освоения дисциплины

Результаты освоения дисциплины

  • Освоение понятия гомотопической эквивалентности
  • Получение навыка вычисления гомологий цепных комплексов
  • Умения вычисления симплициальных гомологий простейших пространств: окружности, тора, симплекса и сферы
  • Освоение метода диаграммного поиска для доказательства точности последовательности. Умение применять длинную точную последовательность для вычисления гомологий конкретных пространств
  • Умение выбрать подходящую модель теории гомологий для решения конкретных задач
  • Умение применения методов дифференциальной геометрии для решения топологических задач
  • Умение вычисления индекса пересечений подмногообразий, заданных конкретными уравнениями
  • Умение определения ориентации пересекаемых циклов. Вычисление колец когомологий простейших пространств: проективных пространств, произведений сфер и надстроек
  • Умение применения функций Морса для исследования топологии конкретных пространств.
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Топологические пространства и операции над ними
    Даем описание основных операций над топологическими пространствами: факторпространство, конус, надстройка, джойн
  • Цепной комплекс
    Циклы, границы, гомологическая эквивалентность, гомологии
  • Симплициальные гомологии
    Симплициальное пространство и его цепной комплекс. Граничный оператор
  • Клеточные и сингулярные гомологии
    Сравнение разных подходов к теории гомологий. Доказательство их эквивалентности для клеточных пространств.
  • Длинная точная последовательность
    Понятие точной последовательности. Метод диаграммного поиска
  • Гомологии многообразий
    Фундаментальный класс. Ориентируемость. Двойственность Пуанкаре
  • Индекс пересечения и степень отображения
    Пересечение циклов. Локальный индекс. Классификация отображений сфер одинаковой размерности. Индекс зацепления
  • Умножение в когомологиях
    "Чашечное" умножение и пересечение циклов. Вычисление кольца когомологий проективного пространства
  • Теория Морса
    Индекс Морса. Комплекс Морса. Неравненство Морса.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Контрольная работа
  • неблокирующий Итоговый письменный экзамен
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (2 модуль)
    0.7 * Итоговый письменный экзамен + 0.3 * Контрольная работа
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Allen Hatcher. (2002). Algebraic topology. Retrieved from http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=true&site=eds-live&db=edsbas&AN=edsbas.87FE219C

Рекомендуемая дополнительная литература

  • - Виро О.Я., Иванов О.А., Нецветаев Н.Ю. — Элементарная топология - Московский центр непрерывного математического образования - 2010 - ISBN: 978-5-94057-587-0 - Текст электронный // ЭБС Лань - URL: https://e.lanbook.com/book/9313