• A
  • A
  • A
  • АБВ
  • АБВ
  • АБВ
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта

Введение в алгебраические группы и их инварианты

2019/2020
Учебный год
RUS
Обучение ведется на русском языке
6
Кредиты
Статус:
Дисциплина общефакультетского пула
Когда читается:
3, 4 модуль

Программа дисциплины

Аннотация

Геометрическая теория и классическая теория инвариантов алгебраи-ческих групп—очень важный раздел современной математики. С первыми приме-рами инвариантов линейных преобразований, такими как определитель, след, характеристический многочлен каждый встречается уже на первом курсе линейной алгебры. Классическая теория инвариантов посвящена описанию алгебры инвариантов классических групп, таких как полная линейная группа, ортогональная и симплектическая группа. В свою очередь, геометрическая теория инвариантов, которая берет свое начало в работах Гильберта и Мамфорда, посвящена исследованию геометрических свойств инвариантов, например, построению и исследованию геометрии различных фактор-пространств, и является основным инструментом для построения пространств модулей (кривых, векторных расслоений и проч.). ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ПОДГОТОВКА: требуется знание линейной алгебры и теории представлений конечных групп (последнее — главным образом для того, чтобы используемые конструкции не вызывали удивления); весьма полезно знание групп и алгебр Ли и основ алгебраической геометрии.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Исследовать геометрические свойства инвариантов, рассмотреть как классическую теорию инвариантов так и геометрическую.
  • Изучить эквивариантные вложения однородных пространств.
Результаты освоения дисциплины

Результаты освоения дисциплины

  • Знает геометрические свойства инвариантов, знает эквивариантные вложения однородных пространств.
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Алгебраические группы и их алгебры Ли.
  • Действия алгебраических групп. Орбиты стабилизаторы однородные пространства. Теорема Шевалле.
  • Многообразия флагов. Действие разрешимых групп на полных многообразиях. Теорема Бореля (Ли–Колчина) о неподвижной точке.
  • Сопряженность борелевских подгрупп, максимальных торов, картановских подгрупп.
  • Структурная теория полупростых алгебраических групп.
  • Действие редуктивных групп на аффинных многообразиях. Конечная порожденность алгебры инвариантов (теорема Гильберта).
  • Категорный фактор. Геометрический фактор. Существование категорного фактора для действия редуктивных групп на аффинных многообразиях.
  • Теорема Нётер о степенях образующих алгебры инвариантов.
  • Теория инвариантов классических групп.
  • Действие редуктивных групп. Линеаризация обратимого пучка. Группа -линеаризованных линейных расслоений PicG(X).
  • Полустабильные и стабильные точки. Фактор Мамфорда.
  • Численный критерий стабильности.
  • Критерий Гильберта–Мамфорда.
  • Критерий Попова стабильности действия на аффинном многообразии.
  • Теорема Луны о слайсе. Стратификация и разрешение особенностей нуль-конуса.
  • Отображение моментов. Замкнутость орбит, критерий Кемпфа–Несс.
  • Стратификация Хесселинка множества нестабильных точек.
  • Пространства модулей кривых.
  • Вариация фактора Мамфорда при изменении обильного обратимого пучка.
  • Свойства U-инвариантов, деформация к орисферическому многообразию.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Решение задач из листков
  • неблокирующий Итоговый устный экзамен
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (4 модуль)
    0.67 * Итоговый устный экзамен + 0.33 * Решение задач из листков
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • - Воскресенский В.Е. — Бирациональная геометрия линейных алгебраических групп - Московский центр непрерывного математического образования - 2009 - ISBN: 978-5-94057-522-1 - Текст электронный // ЭБС Лань - URL: https://e.lanbook.com/book/9315

Рекомендуемая дополнительная литература

  • - Желобенко Д.П. — Компактные группы Ли и их представления - Московский центр непрерывного математического образования - 2007 - ISBN: 978-5-94057-302-9 - Текст электронный // ЭБС Лань - URL: https://e.lanbook.com/book/9335