• A
  • A
  • A
  • АБВ
  • АБВ
  • АБВ
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта

Введение в теорию категорий и гомологическую алгебру

2019/2020
Учебный год
RUS
Обучение ведется на русском языке
6
Кредиты
Статус:
Дисциплина общефакультетского пула
Когда читается:
1, 2 модуль

Преподаватель

Программа дисциплины

Аннотация

Язык категорий и функторов является универсальным средством для выражения алгебраических свойств объектов и отображений между ними в той или иной теории, к какой бы области математики она не относилась. Умение думать на этом языке позволяет находить простые концептуальные ответы на многие кажущиеся трудными вопросы и угадывать правильные постановки новых интересных задач. Целью курса является овладение категорными конструкциями на естественных содержательных примерах и приобретение навыков работы с основным для абелевых категорий вычислительным инструментом - комплексами и их гомологиями.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Формирование структурного, категорного взгляда на математику и приобретение опыта использования функториальных конструкций.
  • Практика работы с диаграммами и специальными объектами: инъективными, проективными, генераторами, когенераторами, компактами и т.п.
  • Знакомство со стандартными резольвентами для гомологической интерпретации задач топологии, теории пучков и теории представлений: комплексами симплициальных цепей, Кошуля, Де Рама, Чеха, Хохшильда, бар-резольентами, и т.п.
  • Знакомство с классическими производными функторами Ext и Tor и их приложениями в алгебре, топологии и теории представлений.
  • Знакомство с современными методами вычисления (ко)гомологий, основанными на использовании спектральных последовательностей, триангулированных категорий и гомотопической алгебры.
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • Знакомство с языком категорий и функторов, а также стандартными универсальными конструкциями, связанными с представимостью функторов и леммой Ионеды.
  • Овладеть языком категорий и функторов, а также стандартными универсальными конструкциями связанными с пределами диаграмм и сопряжёнными функторами.
  • Освоение гомологическогой техники линеаризации задач алгебры, геометрии, анализа и комбинаторики, знакомство с современными методами вычисления когомологий при помощи спектральных последовательностей.
  • Знакомство со стандартными классическими резольвентами, комплексами Кошуля и Де Рама, бар-резольентами, и т.п. , с классическими производными функторами Ext и Tor и их приложениями. Освоение техники вычисления когомологий при помощи спектральных последовательностей.
  • Знакомство со стандартными классическими резольвентами для вычисления когомологий и гомологий групп и алгебр. Интерпретация и применение гомологий и когомологий малых степеней в задачах топологии, теории пучков и теории представлений.
  • Освоить конструкцию производной категории от абелевой категории, изучить свойства триангулированных категорий и технику работы с ними. Знакомство с современными методами вычисления (ко)гомологий, основанными на использовании триангулированных категорий.
  • Формирование структурного категорного взгляда на математику. Овладение естественными функториальными конструкциями и понятиями инъективности, проективности, компактности и т.п.
  • Освоение гомологической техники линеаризации сложных нелинейных задач алгебры, геометрии, анализа и комбинаторики, а также стандартных конструкций с комплексами.
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Категории и функторы
    Категории, функторы, предпучки. Примеры: симплициальные множества, предпучки на топологических пространствах. Естественные преобразования, эквивалентность категорий. Категория функторов, лемма Ионеды, представимые функторы и задание объектов универсальными свойствами.
  • Сопряжённые функторы и пределы
    Сопряжённые функторы. Пределы диаграмм. Фильтрующиеся категории. Примеры: Q/Z, неархимедово пополнение кольца Z, локализация и некоммутативные дроби Оре.
  • Абелевы категории
    Аддитивные и абелевы категории. Диаграммный поиск, леммы о последовательностях. Прямые суммы и произведения. Инъективные, проективные, (ко)порождающие и компактные объекты. Характеризация категорий модулей, эквивалентность Мориты. Теорема о вложении.
  • Комплексы и гомологии
    Категории комплексов, гомотопии и гомологии. Примеры: комплекс цепей симплициального множества, резольвента модуля, резольвенты мономиальных идеалов. Длинная точная последовательность гомологий. Конус морфизма.
  • Спектральные последовательности
    Спектральные последовательности точной пары, фильтрованного комплекса и свёртки бикомплекса. Примеры спектральных последовательностей.
  • Функторы Ext и Tor на категории модулей
    Инъективные и проективные резольвенты. Использование неканонических резольвент. Умножения и свёртки. Комплексы Кошуля, теорема Гильберта о сизигиях.
  • Когомологии алгебр и групп
    Бар-резольвента. Классифицирующие пространства. Гомологии и когомологии групп и алгебр. Гомологии и когомологии Хохшильда.
  • Производные категории
    Триангулированные категории и производная категория от абелевой категории. Триангулированность гомотопической категории комплексов. Локализация гомотопической категории комплексов. Производные функторы.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий домашнее задание
    всего планируется 7 обязательных и 1-2 необязательных задания, по 8 - 12 задач в каждом; отдельные задачи обязательных заданий также являются необязательными
  • неблокирующий итоговый письменный экзамен
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (2 модуль)
    Итоговая отметка равна min(150, H+E)/15, где H и E - оценки за домашние задания и за итоговый письменный экзамен, вычисленные по формулам, указанным в разделе текущего контроля
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • McLean, M. (2010). A spectral sequence for symplectic homology. Retrieved from http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=true&site=eds-live&db=edsarx&AN=edsarx.1011.2478

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Bhatt, B., & Scholze, P. (2019). Prisms and Prismatic Cohomology. Retrieved from http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=true&site=eds-live&db=edsarx&AN=edsarx.1905.08229