Математика для прагматика

2019/2020

Учебный год

RUS

Обучение ведется на русском языке

6

Кредиты

Кто читает:

Факультет математики

Статус:

Дисциплина общефакультетского пула

Когда читается:

3, 4 модуль

Программа дисциплины

Аннотация

Практическое использование математических конструкций неизбежно связано с конечностью и дискретностью, в то время как изучение Математики во многом опирается на описания непрерывных объектов; полезно знать, как именно реализуются некоторые непрерывные конструкции на практике. Например, появление цифровых стандартов привело к тому, что обработка непрерывных во времени сигналов стала типовой задачей для программистов. В курсе будут рассмотрены примеры распространённых математических моделей в их дискретных и непрерывных вариантах, соответствие формул и взаимосвязь эффектов, характерных для каждого варианта. Примеры будут объединены в несколько отдельных сюжетов, предполагается, что для большинства примеров будут просчитаны визуальные интерпретации.

Цель освоения дисциплины

• Знакомство с распространёнными математическими моделями физических процессов в их дискретных и непрерывных вариантах и понимание соответствия формул и взаимосвязи эффектов, характерных для каждого варианта, на таких примерах как акустическое зондирование, оцифровка сигнала, компьютерная томография, анализ броуновского движения и т.п.
• Знание основ математических методов построения математических моделей физических процессов и их дискретизации: дискретные версии дифференцирования и интегрирования, преобразование Фурье, стохастические уравнения, функциональное интегрирование и т. п.
• Умение доводить дискретные математические модели до практически реализуемого программного кода, позволяющего получать явные качественные результаты о процессах и визуализировать полученные результаты

Планируемые результаты обучения

• Практические реализации оцифровки непрерывных во времени сигналов и их программная обработка.
• Освоение распространённых дискретных и непрерывных математических моделей распространения сигнала, понимание соответствия формул и взаимосвязи эффектов, характерных для дискретных и непрерывных моделей.
• Практический опыт компьютерного обсчёта примеров и построения их визуальной интерпретации.
• Освоение методов программного дискретного дифференцирования.
• Практическая компьютерная реализация алгоритмов быстрого преобразования Фурье
• Освоение элементов гармонического анализа и их использование для цифровой обработки сигналов
• Практическая компьютерная реализация преобразования Фурье и преобразования Радона, основы компьютерной томографии
• Освоение методов цифровой обработки акустических сигналов и опыт из практической реализации на уровне программного кода
• Знакомство с мерой Виннера
• Освоение теории случайного блуждания
• Представление о Фейнмановских интегралах и способах их вычисления
• Представление о методах математической статистики
• Представление об основах теории стохастических процессов
• Представление о марковских моделях и способах их обсчёта
• Представление о Виннеровских процессах и способах их обсчёта
• Представление о широко употребляемых стохастических моделях и представлении их решений.
• Овладение основами теории Ито и стохастическими уравнениями
• Практическая компьютерная реализация алгоритмов теории статистических уравнений
• Освоение распространённых дискретных и непрерывных математических моделей различных задач естествознания, понимание соответствия формул и взаимосвязи эффектов, характерных для дискретных и непрерывных моделей.

Содержание учебной дисциплины

• Акустическое зондирование
  Цифровая регистрация, импульсный базис и описания в нём искажений сигнала в слоистых средах
• Дифференцирование в дискретном времени
  Оператор сдвига и его конечномерная модель, дифференцирование в дискретном времени и круговые частоты.
• Преобразование Фурье
  Формула замены координат от частотного базиса к импульсному и преобразование Фурье. Предельные переходы, альясинг и связь с привычными из анализа формулами Фурье.Быстрое преобразование Фурье и его версии для различных простых делителей. Некоторые новые идеи и обобщения: случай линейных дифференциальных операторов и примеры из уравнений математической физики, роль симметрий, двойственность Понтрягина (в том числе для некоммутативных групп).
• Теорема отсчетов Котельникова -- Шеннона.
  Теорема Котельникова. Частотные фильтры и их практическое построение (на уровне программного кода). Сигнал и шум, проблема отделения помех и теорема Шеннона. Томография, преобразование Радона и связь с преобразованием Фурье. Статья Теренса Тао, получившая более, чем четырнадцать тысяч цитирований, и её смысл.
• Интегрирование по множеству непрерывных функций на отрезке
  Усреднение по множествам сигналов и интегрирование по множеству непрерывных функций на отрезке. Мера Винера и ее носители. Практические модели естествознания, приводящие к интегрированию по функциональным пространствам.
• Броуновские траектории
  Свойства броуновских траекторий и примеры явных аналитических вычислений интегралов по броуновским траекториям. Связь интеграла по броуновским траекториям и интеграла Фейнмана. Траектории случайного блуждания по решеткам размерностей 2, 3 и больше, ключевые отличия от одномерного случая. Связь с уравнениями математической физики.
• Стохастический мир
  Обзор некоторых методов вычислений в теории вероятностей: моменты, асимптотики, свойства смесей и т.п. Практические вычисления в стохастическом мире и что собственно можно проверить статистикой?
• Стохастические модели
  Модели классической механики и марковские модели. Винеровский процесс и физическое броуновское движение. Широкоупотребимые стохастические модели и представление их решений. Диффузионные уравнения. Порождающий процесс Винера.
• Стохастические уравнения
  Уравнение Ито и лемма Ито. Вычисления компьютерные и аналитические. Стохастические интегралы и отличительная специфика формул стохастического мира от формул математического анализа.

Элементы контроля

• домашние задания
• письменный экзамен

Промежуточная аттестация

• Промежуточная аттестация (4 модуль)
  0.5 * домашние задания + 0.5 * письменный экзамен

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• William H. Press, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling, & Brian P. Flannery. (1992). Numerical Recipes in C: The Art of Scientific Computing. Second Edition. Retrieved from http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=true&site=eds-live&db=edsbas&AN=edsbas.9CFCD6AE

Рекомендуемая дополнительная литература

• Kundu, D., & Nandi, S. (2012). Statistical Signal Processing : Frequency Estimation. New Delhi: Springer. Retrieved from http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=true&site=eds-live&db=edsebk&AN=537977
• Miller, S. L., & Childers, D. (2012). Probability and Random Processes : With Applications to Signal Processing and Communications (Vol. 2nd ed). Burlington: Academic Press. Retrieved from http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=true&site=eds-live&db=edsebk&AN=453841
• Miller, S. L., & Childers, D. G. (2004). Probability and Random Processes : With Applications to Signal Processing and Communications. Amsterdam: Academic Press. Retrieved from http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=true&site=eds-live&db=edsebk&AN=187186
• Unpingco, J. Python for Signal Processing. – Springer International Publishing, 2014. – 128 pp.