Математический анализ

2020/2021

Учебный год

RUS

Обучение ведется на русском языке

8

Кредиты

Авторы программы

Львовский Сергей Михайлович

Рыбников Григорий Леонидович

Кто читает:

Факультет математики

Статус:

Курс обязательный

Когда читается:

2-й курс, 1-4 модуль

Преподаватели

Богачев Владимир Игоревич

Глуцюк Алексей Антонович

Дымов Андрей Викторович

Маршалл Йен Донен

Попова Светлана Николаевна

Пушкарь Петр Евгеньевич

Скопенков Михаил Борисович

Скрипченко Александра Сергеевна

Степанов Евгений Олегович

Чепыжов Владимир Викторович

Программа дисциплины

Аннотация

Курс посвящен 1) знакомству с основными понятиями, конструкциями и результатами теории меры и интеграла Лебега и связанными с интегралом Лебега концепциями теории функции действительного переменного (абсолютно непрерывные функции, функции ограниченной вариации, интеграл Лебега-Стилтьеса) и 2) знакомству с рядами и преобразованием Фурье, а также с основами теории обобщенных функций.

Цель освоения дисциплины

• Знакомство с основными понятиями, конструкциями и результатами теории меры и интеграла Лебега.
• Знакомство с рядами и преобразованием Фурье и их свойствами и применениями, а также с основами теории обобщенных функций.

Планируемые результаты обучения

• знакомство с основными понятиями, конструкциями и результатами теории меры и интеграла Лебега
• Знакомство с Евклидовым пространством, ортогональными базисами и процессом ортогонализации.
• Знакомство с неравенством Бесселя, замкнутыми ортогональными системы и равенством Парсеваля.
• Знакомство с гилбертовыми пространствами
• Знакомство с пространствами L1 и L2
• Различные типы сходимости
• Знакомство с рядами Фурье. Свойства и применение
• Знакомство с обобщенными функциями и действиям с ними
• Знакомство с задачами Штурма-Лиувилля. Собственные значения и собственные функции. Полнота системы собственных функций
• Применение интеграла Фурье
• Преобразования Фурье. Свойства и применение

Содержание учебной дисциплины

• Меры, мера Лебега
• Измеримые функции, сходимость по мере
• Интеграл Лебега
• Теория дифференцирования (абсолютно непрерывные функции, функции ограниченной вариации)
• Нормированные и банаховы пространства. Примеры.
• Евклидово пространство. Ортогональные базисы. Процесс ортогонализации.
• Неравенство Бесселя. Замкнутые ортогональные системы. Равенство Парсеваля.
• Вещественный и комплексные гильбертовы пространства. Теорема об изоморфизме.
• Пространства L1 и L2. Теоремы о полноте этих пространства.
• Различные типы сходимости: равномерная, в среднем, почти всюду, по мере.
• Ортогональные системы функций в L2. Тригонометрические ряды Фурье.
• Многочлены Лежандра и Чебышева. Ряды Фурье в n-мерном пространстве.
• Условия сходимости ряда Фурье в точке. Интеграл Дирихле. Условие Дини.
• Условия равномерной сходимости ряда Фурье. Теорема Фейера.
• Полнота тригонометрической системы. Теоремы Вейерштрасса.
• Гладкость функции и скорость убывания коэффициентов ряда Фурье.
• Применение рядов Фурье. Изопериметрическое неравенство. Метод Фурье разделения переменных.
• Решение методом Фурье одномерного уравнения теплопроводности на отрезке.
• Решение методом Фурье уравнения упругих колебаний струны.
• Задача Штурма-Лиувилля. Собственные значения и собственные функции. Полнота системы собственных функций.
• Интеграл Фурье. Теорема об обращении. Интеграл Фурье в комплексной форме.
• Преобразование Фурье в пространстве L1(R).
• Преобразование Фурье в пространстве Шварца и его свойства. Свертка функций.
• Применение преобразования Фурье для решения уравнения теплопроводности в R^1. Формула Пуассона.
• Решение уравнения теплопроводности в R^n. Решение уравнения упругих колебаний бесконечной струны с помощью преобразования Фурье.
• Преобразование Фурье свертки функций. Преобразование Фурье в пространстве L2(R). Теорема Планшереля.
• Обобщенные функции и действия с ними.

Элементы контроля

• Экзамен
• Сдача листков
• Работа на семинарах
  Активно только в 1 семестре (модули 1 и 2)
• Экзамен
• Сдача листков
• Работа на семинарах
• Контрольная работа #1
  Активно только во 2 семестре (3, 4 модули)
• Контрольная работа #2
  Активно только во 2 семестре (3 и 4 модули)
• Контрольная работа #3
  Активно только во 2 семестре (3 и 4 модули)

Промежуточная аттестация

• Промежуточная аттестация (2 модуль)
  Оценка за семестр является средневзвешенной оценкой за экзамен (0.25), коллоквиум (0.25), участие в семинарах (0.3) и оценкой за листки (0.2); в скобках указаны веса компонентов. Оценка за семинары выставляется семинаристом на основании активности работы на семинарах и результатов проведенных контрольных работ.
• Промежуточная аттестация (4 модуль)
  Итоговая оценка за работу в 4 семестре (накопленная оценка). Оценка за контрольные работы равняется • если хотя бы по одной из первых двух контрольных получена положительная оценка (не менее 4 баллов): средней по всем формам текущего контроля, то есть по всем написанным контрольным работам, с округлением до целого числа баллов; • если по каждой из первых двух контрольных не получено положительной (не менее 4 баллов) оценке: оценке за третью контрольную работу, уменьшенной на 2 балла, но не более 7 баллов. Итоговая оценка за работу в 4 семестре при условии выполнения критерия сформированности компетенций равна оценке за контрольные работы, увеличенной • на 1 балл, если оценка за домашние задания не меньше 5 и не больше 8 балло, • или на 2 балла, если оенка за домашние задания 9 или 10 баллов, но не более 8 баллов. Если критерий сформированности компетенций не выполнен, накопленная оценка принимается равной нулю. Итоговая оценка за 4 семестр Если накопленная оценка не превышает 6 баллов, то итоговая оценка выставляется только по результатам текущего контроля в течение семестра и равна накопленной оценке. Если накопленная оценка 7 баллов и выше, то обучающийся может по желанию либо получить итоговую оценку, равную накопленной (в пределах 8 баллов) без сдачи экзамена, либо сдать экзамен. В последнем случае в качестве итоговой оценки выставляется оценка за экзамен, независимо от накопленной оценки. Для получения итоговой оценки 9 или 10 на экзамене кроме ответа на теоретические вопросы необходимо решить 1 или 2 задачи. Критерии сформированности компетенций (минимальные требования для получения положительной итоговой оценки) Компетенции сформированы, если обучающийся - получил оценки не ниже 4 баллов по 10-балльной шкале за любые две из написанных контрольных работ, либо - получил оценку не ниже 6 баллов за третью контрольную работу.

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Элементы теории функций и функционального анализа, Колмогоров, А. Н., 2006

Рекомендуемая дополнительная литература

• Краткий курс функционального анализа : учеб. пособие, Люстерник, Л. А., 2009