Введение в римановы поверхности

2020/2021

Учебный год

RUS

Обучение ведется на русском языке

6

Кредиты

Кто читает:

Факультет математики

Статус:

Дисциплина общефакультетского пула

Когда читается:

3, 4 модуль

Программа дисциплины

Аннотация

Основы теории римановых поверхностей были заложены во второй половине XIX века. В ней сошлись передовые на тот момент разработки анализа, алгебры и еще не созданной топологии. На протяжении всего XX века теория римановых поверхностей, объединившись с теорией комплексных алгебраических кривых, не раз выходила на передний план развития математики. Она позволила объяснить многие трудности, возникающие при интегрировании различных функций, и разработать эффективные методы взятия интегралов, прояснила теорию Галуа и привела к новому пониманию арифметики, стала полигоном для теории комплексных многообразий и теории функциональных классов. В последние десятилетия века римановы поверхности оказались востребованы как один из наиболее эффективных инструментов исследования интегрируемых систем и связанных с ними моделей математической физики.

Цель освоения дисциплины

• Овладение различными характеристиками алгебраических кривых и умением вычислять эти характеристики.

Планируемые результаты обучения

• Знакомство с представлением двумерной поверхности как результатом склейки многоугольников. Знакомство с топологией проективных пространств.
• Освоение сопоставления двумерной поверхности алгебраическому уравнению на проективной плоскости.
• Освоение способов задания мероморфных функций на алгебраической кривой.
• Освоение способов задания 1-форм на алгебраической кривой. Освоение методов вычисления вычетов 1-форм в полюсах.
• Освоение общего понятия дивизора. Умение вычислять дивизоры меромофных функций и 1-форм на алгебраической кривой.
• Понимание формулы Римана-Роха. Умение применять формулу Римана-Роха для вычисления различных характеристик алгебраической кривой.
• Освоение умения строить каноническое отображение данной алгебраической кривой.
• Освоение умения находить точки Вейерштрасса на данной алгебраической кривой. Нахождение оценок на количество точек Вейерштрасса.
• Умение вычислять якобиан кривой и образ отображения Абеля на якобиане.

Содержание учебной дисциплины

• Предварительные сведения.
• Определения. Компактная риманова поверхность, ассоциированная с алгебраическим уравнением на плоскости
• Мероморфные функции на римановой поверхности
• Дифференциальные 1-формы и векторные поля на римановых поверхностях. Вычеты
• Дивизоры.
• Формула Римана–Роха и её приложения
• Канонические кривые.
• Точки Вейерштрасса
• Теорема Абеля

Элементы контроля

• письменная контрольная работа
• письменная контрольная работа
• участие в работе на семинарах

Промежуточная аттестация

• Промежуточная аттестация (4 модуль)
  если суммарная оценка за две контрольные и работу на семинарах превышает 10, то округляется до 10.

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Графы на поверхностях и их приложения, Звонкин, А. К., 2010

Рекомендуемая дополнительная литература

• Принципы алгебраической геометрии. Т. 1: ., Гриффитс, Ф., 1982