Введение в алгебраическую теорию чисел

2020/2021

Учебный год

RUS

Обучение ведется на русском языке

6

Кредиты

Кто читает:

Факультет математики

Статус:

Дисциплина общефакультетского пула

Когда читается:

1, 2 модуль

Программа дисциплины

Аннотация

Алгебраическая теория чисел – классическая область математики, сформировавшаяся в ходе исследования решений диофантовых уравнений, а также благодаря попыткам доказать теорему Ферма. Сейчас это обширная классическая область лежащая в основании Арифметической геометрии. В этом курсе мы напомним основы теории Галуа, рассмотрим так называемую теорию ветвления, докажем основные теоремы о структуре идеалов (разложения на простые идеалы), докажем теорему Дирихле о структуре S-единиц, теорему о конечности группы классов. Мы осветим очень важную аналогию между теорией алгебраических чисел и теорией алгебраических кривых над конечными полями, а также расскажем о геометрии Аракелова позволяющей построить «компактификацию» кривой над кольцом целых алгебраических чисел.

Цель освоения дисциплины

• Цель курса дать введение в алгебраическую теорию чисел. Познакомить с основными понятиями проблемами и методами. Дать преставление об основных теоремах, таких как теорема о структуре разложения на множители для идеалов, теорема Дирихле о структуре S-единиц, теорема о конечности группы классов. Познакомить слушателей с техникой Аделей и дать начальные представление о геометрии Аракелова.

Планируемые результаты обучения

• освоение операций над расширениями полей
• возможность проводить вычисления для разложения идеала на простые множители
• овладения описанием группы Галуа для Локальных и глобальных полей
• вычисление образующий группы единиц и группы классов идеалов
• освоение операций с алгебраическими числами
• Овладение теорией приближений
• вычисление норм и следов алг элементов.Вычисление дифферент

Содержание учебной дисциплины

• Теория полей. Сепарабельные, чисто несепарабельные, нормальные расширения Расширения Галуа.
  Введение в теорию полей и теорию вложений
• Целые алгебраические числа и их свойства
• Пополнения и p-адические числа.
• Теория ветвления. Нормы Следы. Дифферента Дискриминант.
• Дедекиндовы кольца теория разложения на просты идеалы. Группа классов
• Локальная и глобальная теория полей классов
• Теорема о конечности группы классов идеалов. Теорема Дирихле о единицах. Теорема Минковского.

Элементы контроля

• списки задач необходимых к сдаче
  имеет вес 1/3 в общей оценке
• письменный домашний экзамен.
  имеет вес 2/3 в общей оценке

Промежуточная аттестация

• Промежуточная аттестация (2 модуль)
  0.7 * письменный домашний экзамен. + 0.3 * списки задач необходимых к сдаче

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Алгебра, Ленг, С., 1968
• Алгебраическая теория чисел, , 1969
• Алгебраические числа, Ленг, С., 1966
• Алгебраические числа, Ленг, С., 1966

Рекомендуемая дополнительная литература

• Local fields, Serre, J.- P., 1979
• Теория чисел, Боревич, З. И., 1964