Дифференциальные уравнения

2020/2021

Учебный год

RUS

Обучение ведется на русском языке

6

Кредиты

Кто читает:

Отдел сопровождения учебного процесса в Совместном бакалавриате ВШЭ-РЭШ

Статус:

Курс по выбору

Когда читается:

3-й курс, 3, 4 модуль

Преподаватель

Щуров Илья Валерьевич

Программа дисциплины

Аннотация

Дисциплина Дифференциальные уравнения обеспечивает подготовку слушателей по одной из фундаментальных математических дисциплин, являющейся мощным орудием исследования многих задач естествознания и экономических дисциплин. Изучение дисциплины «Дифференциальные уравнения» базируется на следующих дисциплинах: · математический анализ-1 · линейная алгебра · математический анализ-2 Для освоения учебной дисциплины студенты должны владеть следующими знаниями и компетенциями: · знать методы дифференцирования функций; · знать методы работы с простейшими интегралами;

Цель освоения дисциплины

• Целью освоения дисциплины «Дифференциальные уравнения» познакомить студентов с широким кругом идей и методов решения и анализа дифференциальных уравнений.

Планируемые результаты обучения

• Знает определения основных понятий теории дифференциальных уравнений
• Знает доказательства основных теорем теории дифференциальных уравнений
• Знает примеры приложения теории дифференциальных уравнений к экономическим и естественнонаучным задачам
• Может решать основные типы дифференциальных уравнений
• Может строить фазовые портреты дифференциальных уравнений
• Может исследовать качественные свойства дифференциальных уравнений
• Владеет навыками численного решения дифференциальных уравнений
• Владеет навыками анализа естественнонаучных задач с помощью дифференциальных уравнений

Содержание учебной дисциплины

• Понятие дифференциального уравнения.
  Примеры моделей, приводящих к дифференциальным уравнениям. Экспоненциальный рост населения, модель Солоу, простейшие механические системы.
• Простейшие примеры дифференциальных уравнений в размерности 1.
  Задача Коши. Формула Барроу. Расширенное фазовое пространство. Интегральные кривые. Поле направлений. Дифференциальные 1-формы.
• Многомерные фазовые пространства.
  Фазовые кривые, фазовые портреты. Прямое произведений уравнений. Связь автономных уравнений в размерности 2 с неавтономными в размерности 1. Уравнения с разделяющимися переменными.
• Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения (без доказательства).
• Уравнения в полных дифференциалах.
  Производная функции вдоль векторного поля производная Ли). Первые интегралы. Теорема о выпрямлении векторного поля в окрестности неособой точки.
• Многомерные фазовые пространства.
  Фазовые кривые, фазовые портреты. Прямое произведений уравнений. Связь автономных уравнений в размерности 2 с неавтономными в размерности 1. Уравнения с разделяющимися переменными.
• Консервативные системы с одной степенью свободы
• Линейные уравнения в размерности 1 с переменными коэффициентами.
  Метод вариации постоянных. Уравнения в вариациях по начальному условию.
• Линейные системы с постоянными коэффициентами в произвольной размерности. Общие свойства.
• Классификация особых точек системы линейных уравнений с двумя переменными.
• Матричная экспонента.
  Решение линейного уравнения с постоянными коэффициентами в произвольной размерности.
• Линеаризация нелинейных систем вблизи особых точек.
• Устойчивость по Ляпунову. Асимптотическая устойчивость. Теорема об устойчивости по первому приближению (без доказательства).
• Мягкие и жесткие модели. Структурная устойчивость. Понятие о бифуркациях. Примеры: седлоузловая бифуркация, бифуркация Андронова — Хопфа.
• Предельные циклы. Отображение Пуанкаре. Устойчивость предельных циклов. 16-проблема Гильберта (формулировка).
• Дифференциальные уравнения на двумерном торе. Плотная обмотка тора.

Элементы контроля

• Домашние задания
• Самостоятельные
• Мидтерм
  Мидтерм проводится в письменной форме в течение 80-120 минут. В ходе выполнения работы допускается использование простых калькуляторов (не позволяющих строить графики функций) и листа A4, на котором студент может заранее собственноручно сделать любые необходимые ему для выполнения работы записи (формулы, определения и т.д.) Оценка за мидтерм выставляется по 100-бальной шкале. Переписывание мидтерма не допускается, за исключением случаев пропуска по уважительной причине, подтверждённой документально.
• Финальная контрольная
• Дополнительные задания

Промежуточная аттестация

• Промежуточная аттестация (4 модуль)
  0.3 * Домашние задания + 0.25 * Мидтерм + 0.1 * Самостоятельные + 0.35 * Финальная контрольная

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Высшая математика : интегралы по мере, дифференциальные уравнения, ряды, Виленкин, И. В., 2011
• Дифференциальные уравнения : учеб. пособие для вузов, Демидович, Б. П., 2006
• Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. - Дифференциальные уравнения - Издательство "Физматлит" - 2002 - 256с. - ISBN: 978-5-9221-0277-3 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/48171

Рекомендуемая дополнительная литература

• Дифференциальные уравнения : учебник для вузов, Тихонов, А. Н., 2002