Линейная алгебра

2020/2021

Учебный год

RUS

Обучение ведется на русском языке

5

Кредиты

Кто читает:

Отдел сопровождения учебного процесса в Совместном бакалавриате ВШЭ-РЭШ

Статус:

Курс обязательный

Когда читается:

1-й курс, 3, 4 модуль

Преподаватели

Абрамян Семён Артурович

Медведев Владимир Олегович

Программа дисциплины

Аннотация

Линейная алгебра - одна из фундаментальных математических дисциплин. Понятия и методы линейной алгебры широко используются в приложениях. Вот лишь несколько примеров: линейные модели в бизнесе и эконометрике, приложения к теории дифференциальных уравнений, теории марковских цепей, статистике и теории игр. Чисто практическая задача по составлению наилучшего плана загрузки лущильных станков привела Леонида Канторовича в 1939 году к созданию новой научной дисциплины под названием линейное программирование, где исследуются методы экстремальных задач на подмножествах конечномерного векторного пространства, задаваемых системами линейных уравнений и неравенств. Это открыло новый этап в развитии экономико-математических методов, а Канторович позже был удостоен Нобелевской премии по экономике. Таким образом, знание линейной алгебры и уверенное владение её методами - залог успеха в освоении большинства последующих дисциплин, основанных на математическом подходе, а её творческое использование в приложениях - залог успешной карьеры.

Цель освоения дисциплины

• Познакомить слушателя с основными понятиями и методами линейной алгебры.

Планируемые результаты обучения

• Умеет решать системы линейных алгебраических уравнений различными методами и выяснять, допускает ли данная система линейных алгебраический уравнений решения
• Умеет вычислять определители матриц
• Умеет находить обратную матрицу
• Владеет основными понятиями линейной алгебры: векторные пространства, линейные отображения, скалярные произведения
• Умеет находить собственные числа матрицы
• Умеет диагонализовать диагонализуемые матрицы и ортодиагоналивать ортодиагонализуемые матрицы
• Умеет приводить квадратичную форму к каноническому виду

Содержание учебной дисциплины

• Тема 2.
  Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ): эквивалентные системы, совместные и несовместные системы, геометрический смысл систем из двух уравнений с двумя неизвестными и систем из трёх уравнений с тремя неизвестными, матрицы и матричная форма записи СЛАУ, вектор-стобцы и вектор-строки, векторы в R n , линейные комбинации векторов, линейная зависимость и линейная независимость векторов, ранг и свободные переменные, теорема Кронекера-Капелли, метод Гаусса-Жордана, пространство решений СЛАУ.
• Тема 1.
  Введение: множества, алгебра множеств, отображения множеств, инъекции, сюръекции, биекции, комплексные числа, тригонометрическая форма записи комплексного числа, формула Муавра, извлечение корня из комплексного числа, основная теорема алгебры, кванторы.
• Тема 4.
  Векторные пространства и линейные отображения: векторное пространство R n , абстрактные векторные пространства, линейная зависимость и линейная независимость в абстрактных векторных пространствах, векторные подпространства векторного пространства, теорема о векторных подпространствах векторного пространства, линейная оболочка векторов, базисы и координаты, размерность векторного пространства, ядро и образ матрицы revisited, теорема о ранге матрицы, линейные отображения векторных пространств, ядро и образ линейного отображения, каноническая матрица линейного отображения, матрица замена базиса, изоморфизм векторных пространств, теорема об изоморфизме конечномерных векторных пространств, теорема об обратной матрице revisited.
• Тема 3.
  Матрицы и определители: алгебраические операции над матрицами, алгебра матриц, матричные уравнения, матричная экспонента, обратимые матрицы, обратная матрица, теорема об обратной матрице, алгоритм Гаусса-Жордана нахождения обратной матрицы, след матрицы, определитель матрицы и его свойства, методы и стратегии нахождения определителя матрицы, элементарные матрицы, верхнетреугольные и нижнетреугольные матрицы, разложение матрицы в произведение нижнетреугольной матрицы и верхнетреугольной матрицы, метод вычисление обратной матрицы через присоединённую матрицу, метод Крамера решения СЛАУ, ядро и образ матрицы.
• Тема 5.
  Скалярные произведения: скалярное произведение векторов в пространстве R n , абстрактные скалярные произведения в векторных пространствах, длина векторая, расстояние между векторами, неравенство Коши-Буняковского-Шварца, неравенство треугольника, ортогональные векторы, ортогональные и ортонормированные базисы, ортогональное дополнение векторного подпространства векторного пространства со скалярным произведением, прямая сумма векторных пространств, ортогональная проекция, процесс ортогонализации Грама-Шмидта.
• Тема 6.
  Диагонализация матриц и квадратичные формы: собственные векторы и собственные числа матрицы, собственные пространства, характеристическое уравнение, теорема Гамильтона-Кэли, подобные матрицы, диагонализуемые матрицы, теорема о диагонализуемых матрицах, алгоритм диагонализации матрицы, теорема о разложении матрицы с единственным собственным значением, жорданова клетка, жорданова нормальная форма, симметрические матрицы и ортодиагонализуемость, спектральная теорема, завершение теоремы об обратной матрице, билинейные и квадратичные формы, знакоопределённые и знакопеременные формы, критерий Сильвестра, канонический вид квадратичной формы, метод Лагранжа, закон инерции Сильвестра.

Элементы контроля

• Итоговая контрольная работа
• Промежуточная контрольная работа
• Обязательные домашние задания

Промежуточная аттестация

• Промежуточная аттестация (4 модуль)
  0.4 * Итоговая контрольная работа + 0.3 * Обязательные домашние задания + 0.3 * Промежуточная контрольная работа

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре : учеб. пособие для вузов, Беклемишева, Л. А., 2001

Рекомендуемая дополнительная литература

• Lay, D. C., Lay, S. R., & McDonald, J. (2016). Linear Algebra and Its Applications, Global Edition: Vol. Fifth edition, global edition. Pearson.
• Лекции по общей алгебре : учебник, Курош, А. Г., 2005