Дифференциальные уравнения

2020/2021

Учебный год

RUS

Обучение ведется на русском языке

4

Кредиты

Кто читает:

Факультет математики

Статус:

Курс обязательный

Когда читается:

1-й курс, 3, 4 модуль

Преподаватели

Гонин Роман Романович

Маршалл Йен Донен

Степанов Евгений Олегович

Программа дисциплины

Аннотация

Курс «Дифференциальные уравнения» является одним из базовых математических курсов и призван познакомить студентов с широким кругом идей и методов решения и анализа дифференциальных уравнений, что имеет важнейшее значение для дисциплин физического цикла. Находясь на стыке сразу нескольких математических дисциплин, этот курс позволяет на содержательных примерах продемонстрировать работу методов математического анализа, алгебры и дифференциальной геометрии. Кроме того, изучая дифференциальные уравнения, слушатели на достаточно простом и наглядном уровне знакомятся с некоторыми важными разделами классической механики. Основная цель курса «дифференциальных уравнений» состоит в обучении студентов методам качественного анализа уравнений и знакомство их с типичными трудными ситуациями, возникающими при таком анализе. Это обязательный курс. Изучение данной дисциплины базируется на знаниях, полученных студентами при освоении школьного курса математики, и знаний, полученных при освоении дисциплины математический анализ в объеме программы 1-го семестра (дифференцирование функций, простейшие интегралы). Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении дисциплин: ● Курсы общей и теоретической физики ● Математическая физика ● Профильных физических дисциплин.

Цель освоения дисциплины

• Изучение теории дифференциальных уравнений и методов их решения.
• Получение навыков применения дифференциальных уравнений к практическим задачам.
• Знакомство с основными типами дифференциальных уравнений и методами их решения.
• Получение представления о типичных приложениях дифференциальных уравнений.

Планируемые результаты обучения

• Имеет понятие о теории дифференциальных уравнений и методов их решения
• Умеет решать основные типы дифференциальных уравнений
• Умеет применять дифференциальные уравнения к практическим задачам.

Содержание учебной дисциплины

• Дифференциальное уравнение и его решение
  Примеры физических задач, приводящих к дифференциальным уравнениям.
• Система дифференциальных уравнений первого порядка.
  Фазовая плоскость. Интегральные кривые. Поле направлений. Примеры уравнений, допускающих явные решения. Разделение переменных. Однородные дифференциальные уравнения.
• Существование и единственность решения задачи Коши
  Ломаные Эйлера. Продолжении решений. Неравенство Гронуолла. Зависимость решений от параметра. Неравенство Чаплыгина. Уравнение в вариациях.
• Системы линейных дифференциальных уравнений
  Однородные системы. Определитель Вронского. Неоднородные системы. Метод вариации постоянных. Системы с постоянными коэффициентами. Матричная экспонента.
• Двумерные системы с постоянными коэффициентами, классификация особых точек
• Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
  Сведение дифференциального уравнения произвольного порядка к системе дифференциальных уравнений. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Неоднородные уравнения. Метод вариации произвольных постоянных. Подбор частных решений для уравнений с постоянными коэффициентами. Краевые задачи для уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.
• Функция Ляпунова
  Устойчивость по Ляпунову. Функция Ляпунова. Дифференцирование вдоль векторного поля. Исследование устойчивости по первому приближению.
• Стабилизируемость дифференциальных систем
  Пример: регулятор Уатта. Критерий Михайлова. Управляемость и наблюдаемость линейных систем.
• Примеры уравнений в частных производных первого порядка
  Метод характеристик. Задача Коши для транспортного уравнения.

Элементы контроля

• Контрольная работа 1
  Письменная работа 80 мин. Проводится на 4-7 неделе семестра.
• Контрольная работа 2
  Письменная работа 80 мин. Проводится в течение последних 10 недель семестра.
• Контрольная работа 3
  Письменная работа 80 мин. Проводится в течение последних 6 недель семестра. Обязательна только для тех, кто не писал, либо не получил удовлетворительной оценки по любой из первых двух контрольных, для всех остальных выполняется по желанию. Содержит задачи по всему материалу курса. В весеннем семестре 2019-2020 учебного года в связи с отменой устного коллоквиума из-за санитарных ограничений удовлетворительная оценка за эту контрольную необходима для получения оценки 9 или 10.

Промежуточная аттестация

• Промежуточная аттестация (4 модуль)
  1) Для получения удовлетворительной оценки по курсу НЕОБХОДИМО наличие оценки не ниже 4 за обе основных контрольных работы (КР1 и КР2), а при неудовлетворительной оценке хотя бы за одну из двух основных контрольных работ - наличие оценки не ниже 4 за третью контрольную работу (КР3) 2) Если округленный средний балл за все написанные контрольные работы (две или три) МЕНЬШЕ ИЛИ РАВЕН 8, то это среднее является итоговой оценкой. 3) Для получения итоговой оценки 9 или 10 НЕОБХОДИМО написать третью контрольную работу. Оценка 9 или 10 выставляется, если округленный средний балл за три контрольные работы равен 9 или 10, соответственно.

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Петровский И.Г. - Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений - Издательство "Физматлит" - 2009 - 208с. - ISBN: 978-5-9221-1144-7 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/59554

Рекомендуемая дополнительная литература

• Арнольд В.И. - Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений - Московский центр непрерывного математического образования - 2012 - 384с. - ISBN: 978-5-4439-2069-6 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/56388
• Ибрагимов Н.Х. - Практический курс дифференциальных уравнений и математического моделирования. Классические и новые методы. Нелинейные математические модели. Симметрия и принципы инвариантности - Издательство "Физматлит" - 2012 - 332с. - ISBN: 978-5-9221-1377-9 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/5268
• Ибрагимов Н.Х. - Практический курс дифференциальных уравнений и математического моделирования. Классические и новые методы. Нелинейные математические модели. Симметрия и принципы инвариантности - Издательство "Физматлит" - 2012 - 332с. - ISBN: 978-5-9221-1377-9 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/59600
• Обыкновенные дифференциальные уравнения, Арнольд, В. И., 2000