Линейная алгебра

2020/2021

Учебный год

RUS

Обучение ведется на русском языке

4

Кредиты

Кто читает:

Факультет математики

Статус:

Курс обязательный

Когда читается:

1-й курс, 1, 2 модуль

Преподаватели

Ильин Антон Сергеевич

Матушко Мария Георгиевна

Павлов Александр Борисович

Программа дисциплины

Аннотация

Курс "Линейная алгебра" направлен на знакомство студентов с основными понятиями и методами линейной алгебры. При изучении этого курса студенты получат знания о современной алгебре и её месте в математике, познакомятся с понятиями систем линейных уравнений, векторных пространств, матриц, линейных операторов, тензоров, а также научатся решать стандартные задачи линейной алгебры и применять методы линейной алгебры в других математических и физических дисциплинах. Изучение данной дисциплины базируется на знаниях, полученных студентами при освоении школьного курса математики. Основные положения дисциплины используются в дальнейшем при изучении таких дисциплин, как "Дифференциальные уравнения", "Теория вероятностей", "Методы вычислений", "Уравнения математической физики", а также профильных физических дисциплин.

Цель освоения дисциплины

• Формирование и развитие у студентов структурно-алгебраического мышления и умения видеть общие алгебраические конструкции в различных областях математики
• Освоение фундаментальных понятий и вычислительных методов линейной алгебры
• Наработка опыта использования и применения изучаемых методов к исследованию и решению конкретных задач

Планируемые результаты обучения

• Освоение методов решения систем линейных уравнений
• Знакомство с основными понятиями линейной алгебры
• Знакомство с основными понятиями и методами линейной алгебры и отработка навыков их применения при решении задач
• Знакомство с основными понятиями теории групп
• Знакомство с понятием тензора и его применением в математике и физике

Содержание учебной дисциплины

• Системы линейных уравнений
  Методы системы решения линейных уравнений. Метод Гаусса. Фундаментальная система решений.
• Векторные пространства
  Векторное пространство, базис и размерность. Векторные подпространства, свойства подпространств. Сопряженное пространство.
• Линейные отображения
  Линейные отображения. Матрицы линейных отображений. Композиция линейных отображений и произведение матриц. Ядро и образ линейного отображения. Сопряженное отображение.
• Линейные операторы
  Линейные операторы. Определитель линейного оператора. Определитель композиции операторов.
• Скалярное произведение
  Скалярное произведение. Ортогонализация Грама-Шмидта.
• Билинейные и квадратичные формы
  Симметрические билинейные формы и квадратичные формы. Поляризация. Диагонализуемость. Методы Лагранжа и Якоби. Индекс инерции квадратичной формы, критерий Сильвестр
• Евклидово и эрмитово пространство
  Евклидово и эрмитово пространство. Метрическая геометрия. Псевдоевклидово пространство, пространство Минковского.
• Векторное пространство с оператором
  Преобразование линейного оператора при смене базиса. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Характеристический многочлен. Диагонализуемость.
• Евклидово и эрмитово пространство с оператором
  Симметрические, кососимметрические, ортогональные, эрмитовы, косоэрмитовы, унитарные операторы. Собственные значения, диагонализуемость. Линейные операторы и билинейные функции в пространстве со скалярным произведением.
• Жорданова нормальная форма
  Корневые векторы. Разложение пространства с оператором в прямую сумму корневых подпространств. Нильпотентные операторы.
• Группы
  Действие группы на множестве. Примеры: простейшие конечные группы, группы отражений, кристаллографические группы. Гомоморфизмы групп.
• Тензоры
  Примеры тензоров. Двойственность и свертки. Симметрические и кососимметрические тензоры.

Элементы контроля

• домашние задания
• Контрольные работы
• коллоквиум
• Письменный экзамен

Промежуточная аттестация

• Промежуточная аттестация (2 модуль)
  0.2 * домашние задания + 0.3 * коллоквиум + 0.2 * Контрольные работы + 0.3 * Письменный экзамен

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Курс алгебры, Винберг, Э. Б., 2013

Рекомендуемая дополнительная литература

• Лекции по линейной алгебре, Гельфанд, И. М., 1998