Алгебра

2019/2020

Учебный год

RUS

Обучение ведется на русском языке

8

Кредиты

Кто читает:

Департамент математики

Статус:

Курс обязательный

Когда читается:

1-й курс, 1-4 модуль

Преподаватели

Алексеева Дарья Эдуардовна

Максаев Артем Максимович

Медведь Никита Юрьевич

Михайлец Екатерина Викторовна

Пионтковский Дмитрий Игоревич

Трушин Антон Николаевич

Хрыстик Михаил Андреевич

Чернышев Всеволод Леонидович

Программа дисциплины

Аннотация

Настоящая дисциплина является обязательной и относится к базовым дисциплинам профессионального цикла. Для освоения учебной дисциплины не требуются знания и компетенции, выходящие за пределы требований к поступающим на программу бакалавриата. Изучение данной дисциплины базируется на школьном курсе алгебры и начал анализа. Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и компетенциями: знание элементарной алгебры, знание простейших понятий теории множеств. Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин: математический анализ, анализ данных, дискретная математика, теория вероятностей и математическая статистика, статистические и эмпирические методы компьютинга, алгоритмы и структуры данных.

Цель освоения дисциплины

• Развитие математического кругозора и алгебраического мышления студентов.
• Обучение студентов важнейшим теоретическим положениям линейной алгебры, началам абстрактной алгебры, матричным методам.
• Выработка у студентов навыков решения конкретных задач, требующих исследования систем линейных уравнений, применения матричных вычислений, многомерной геометрии, линейных операторов.

Планируемые результаты обучения

• Умение решать системы линейных уравнений при помощи алгоритма Гаусса, выполнять операции над матрицами.
• Умение вычислять определители матриц (в том числе, используя определение), находить ранги матриц.
• Умение находить фундаментальную систему решений однородной СЛАУ, находить общее решение неоднородной СЛАУ, исследовать СЛАУ на совместность.
• Умение применять основные векторные и матричные операции для решения задач аналитической геометрии.
• Умение работать с комплексными числами (в частности, умение извлекать комплексные корни). Умение выяснять, является ли данное множество с данной бинарной операцией полугруппой, моноидом, группой.
• Умение исследовать строение групп. Умение применять основы шифрования. Умение выяснять, является ли данной множество кольцом, полем, алгеброй и уметь устанавливать изоморфизмы между ними.
• Умение выяснять является ли данный алгебраический объект линейным пространством. Уметь находить матрицы линейных операторов, выяснять когда эти матрицы имеют простейший вид и находить его.
• Умение приводить билинейные и квадратичные формы к каноническому виду, исследовать их на положительную и отрицательную определенность.
• Умение находить расстояния между вектором и линейным многообразием в евклидовом пространстве. Умение находить основные матричные разложения.
• Умение классифицировать кривые и поверхности второго порядка и приводить их к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования и сдвига.

Содержание учебной дисциплины

• Системы линейных уравнений, матрицы
  1. Системы линейных алгебраических уравнений. Операции над матрицами: сложение, умножение на число, транспонирование и умножение. Свойства операций над матрицами: сложения и умножения на скаляр, транспонирования, умножения. Единичная матрица. 2. Некоммутативность умножения матриц. Симметрические матрицы. Ступенчатый вид матрицы и канонический (улучшенный ступенчатый) вид матрицы. Элементарные преобразования строк матрицы. Теорема о методе Гаусса. Совместные и несовместные системы линейных уравнений. Свободные переменные.
• Определители
  3. Перестановки и подстановки. Инверсии. Транспозиции. Знак и чётность перестановки и подстановки. Общая формула для определителя произвольного порядка. Свойства определителя, в частности: разложение определителя по строке (столбцу) и фальшивое разложение, вычисление определителя верхнетреугольной матрицы. Утверждение о том, что любая функция от столбцов матрицы является определителем, если она линейна по каждому аргументу, кососимметрична и принимает значение 1 на единичной матрице, для случая квадратной матрицы второго порядка. Определитель произведения двух квадратных матриц. Способы вычисления определителей. [3], гл.1, §1.1, с.16-20; [1], т. 1, гл.1, §4, с. 29-32. [3], гл. 6, §6.1-6.3, c.191-204; [1], т.1, гл.3, §§1-2. [3], гл. 6, §6.4, c.205-208; [17].
• Системы линейных уравнений, матрицы (продолжение)
  4. Формулы Крамера для квадратной матрицы произвольного порядка. Дополняющий минор, алгебраическое дополнение. Союзная матрица. Обратная матрица. Критерий существования и формула для нахождения обратной матрицы. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований. Матричные уравнения AX = B, XA = B. Минор. Ранг матрицы. Базисный минор. Определение линейной комбинации строк. Линейная зависимость строк (столбцов). 5. Критерий линейной зависимости. Свойства ранга. Теорема о базисном миноре и её следствия (теорема о ранге матрицы и критерий невырожденности квадратной матрицы). Вычисление ранга матрицы: элементарные преобразования и метод окаймляющих миноров. Свойства решений однородных и неоднородных систем линейных алгебраических уравнений. 6. Теорема Кронекера—Капелли. Критерий существования ненулевого решения однородной системы линейных уравнений с квадратной матрицей. Фундаментальная система решений (ФСР) однородной системы линейных уравнений. Теорема о существовании ФСР. Теорема о структуре общего решения однородной системы линейных алгебраических уравнений. Теорема о структуре общего решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений.
• Векторная алгебра. Элементы аналитической геометрии
  7. Векторы в трехмерном пространстве, линейные операции над ними и их свойства. Скалярное произведение векторов в трехмерном пространстве и его алгебраические свойства. Выражение ортогональной проекции одного вектора на направление другого. 8. Базис в трехмерном пространстве. Ортогональный и ортонормированный базисы. Правый и левый базисы. Вычисление скалярного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Вычисление длины вектора и угла между векторами. Направляющие косинусы. Векторное произведение векторов, его свойства. Вычисление векторного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Критерий коллинеарности двух векторов. 9. Смешанное произведение векторов, его свойства. Вычисление смешанного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Вычисление объема параллелепипеда. Критерий компланарности трех векторов. Прямоугольная декартова система координат. Радиус-вектор точки. Радиус-вектор точки, делящей отрезок в данном отношении, середина отрезка. Уравнение поверхности и его геометрический образ. Прямая и обратная задачи аналитической геометрии. Общее уравнение плоскости в пространстве. Теорема о том, что любое линейное уравнение первого порядка задает плоскость. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Нормальное уравнение плоскости. 10. Взаимное расположение плоскостей. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости. Прямая в пространстве. Общие уравнения прямой. Векторное уравнение прямой. Параметрические и канонические уравнения прямой. Уравнения прямой, проходящей через две точки. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности прямой и плоскости. Взаимное расположение прямых. Критерий принадлежности двух прямых одной плоскости. Вычислений расстояний: от точки до прямой и между двумя прямыми.
• Комплексные числа
  11. Комплексные числа: алгебраическая и тригонометрическая форма записи. Модуль и аргумент комплексного числа. Главное значение аргумента. Сложение, умножение комплексных чисел и их свойства. Комплексное сопряжение. Деление комплексных чисел. Формула Муавра. Извлечение комплексного корня n-ой степени. Основная теорема алгебры. Теорема Безу. Формула Эйлера. Формулы Виета. Разложение многочленов на неприводимые множители над действительными и над комплексными числами.
• Элементы общей алгебры
  12. Сюръективность и инъективность. Биекция. Бинарные операции. Ассоциативные и коммутативные бинарные операции. Группоид и полугруппа. Примеры. Моноид. Обратимые элементы. Группа. Примеры групп: симметрическая группа, общая линейная группа, специальная линейная группа. Абелева группа. Подгруппа. Гомоморфизм. Ядро гомоморфизма. Эпиморфизм и мономорфизм. Изоморфизм групп. Циклическая группа. Порядок элемента. Связь порядка элемента, порождающего циклическую группу, с порядком группы. Таблица Кэли. Теорема о том, что все циклические группы одного порядка изоморфны. Три свойства изоморфизма. Пример конечной циклической группы: вычеты. Таблица Кэли для вычетов по модулю 4. 13. Левый смежный класс по некоторой подгруппе. Индекс подгруппы. Теорема Лагранжа и три её следствия. Примеры групп: группа диэдра, знакопеременная группа. Группа кватернионов. Утверждение о том, какими могут быть подгруппы группы целых числе по сложению. 14. Нормальная подгруппа. Критерий нормальности. Определение факторгруппы. Естественный гомоморфизм. Утверждение о том, что нормальными подгруппами являются ядра гомоморфизмов и только они. Теорема о гомоморфизме. 15. Прямое произведение групп. Замечание о том, какими бывают группы порядка восемь. 16. Теорема Кэли. 17. Криптография с открытым ключом. Задача дискретного логарифмирования. Система Диффи–Хеллмана обмена ключами. Криптосистема Эль–Гамаля. RSA. 18. Определение кольца. Аддитивная группа кольца. Мультипликативная полугруппа кольца. Примеры колец: числовые кольца, полное матричное кольцо, кольцо вычетов, кольцо многочленов от одной переменной. Подкольцо. Подкольцо, порожденное множеством. Коммутативное кольцо. Делители нуля и обратимые элементы. Целостное кольцо. Критерий целостности для нетривиального коммутативного кольца с единицей. 19. Поле, примеры полей. Утверждение, что кольцо вычетов по модулю p является полем тогда и только тогда, когда p простое. Подполя: примеры. Двусторонний идеал. Главный идеал. Гомоморфизм колец. Факторкольцо. Лемма о том, что ядро гомоморфизма колец является идеалом. Теорема о гомоморфизме колец, пример. Характеристики поля. Простое подполе. Утверждение о том, каким будет простое подполе в зависимости от характеристики. Расширение поля. Поле рациональных дробей. Утверждение о том, когда факторколько кольца многочленов над полем само является полем (без доказательства). Расширение поля, получено путем присоединения элемента: примеры. Алгебраические элементы над полем. Утверждение о том, сколько элементов может быть в конечном поле и как устроены его подполя (без доказательства). Утверждение о том, что любое конечное поле может быть реализовано как факторкольцо кольца многочленов по идеалу, порожденному неприводимым многочленом (без доказательства). Алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя в кольце многочленов. Выражение для наибольшего общего делителя двух многочленов. Взаимная простота в кольцах. Китайская теорема об остатках. 20. Алгебры: определение и примеры.
• Линейные пространства. Линейные отображения и операторы.
  21. Линейное (векторное) пространство: аксиомы, их простейшие следствия. Примеры. Базис, размерность, координаты вектора в базисе, запись операций над векторами в координатах. Матрица перехода от старого базиса к новому. Изменение координат вектора при изменении базиса. Утверждение о том, как меняется матрица перехода при двух последовательных переходах. Подпространства в линейном пространстве. Линейная оболочка конечного набора векторов и ее размерность. Изоморфизм линейных пространств. Теорема о том, что ранг системы векторов равен рангу матрицы, составленной из столбцов их координат. Литература по теме: [3] §§ 7.1 - 7.5; [1] гл.1 §§1,2; [6] гл.3-5. 22. Сумма и прямая сумма подпространств. Пересечение подпространств. Утверждение о связи размерности суммы и пересечения подпространств. Линейные отображения и преобразования (операторы) линейных пространств. Матрица линейного оператора. Теорема о том, что действие линейного оператора в конечномерном пространстве полностью определяется матрицей линейного оператора. Утверждение о формуле для матрицы оператора при замене базиса. Действия над линейными отображениями. Сопряженное пространство. Ковекторы. Преобразование координат ковектора. Сопряженные отображения. Литература по теме: [3] §7.3-7.4, 8.1-8.3; [1] т.2 гл.1 §2, гл.2 §§1,2. 23. Ядро и образ (множество значений) линейного отображения. Утверждение о связи размерностей ядра и образа линейного оператора. Собственный вектор и собственное значение линейного оператора. Собственное подпространство. Характеристическое уравнение и характеристический многочлен квадратной матрицы. Инвариантность характеристического многочлена. Утверждение о том, что число принадлежит спектру тогда и только тогда, когда оно является корнем характеристического многочлена (над алгебраически замкнутым полем). Алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения и неравенство, их связывающее (без доказательства). След матрицы. Утверждение о том, что след матрицы линейного оператора не зависит от выбора базиса. Литература по теме: [3] §8.4-8.6; [1] т.2 гл.2 §1,3. 24. Линейная независимость собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду путем перехода к базису из собственных векторов, условия диагонализируемости. Разложение пространства в прямую сумму корневых подространств. Формулировка теоремы о жордановой нормальной форме матрицы оператора. Корневые подространства. Формула для числа жордановых клеток заданного размера. Теорема Гамильтона–Кэли (формулировка).
• Билинейные и квадратичные функции, евклидовы пространства
  25. Билинейные формы. Формула для преобразования матрицы билинейной формы при замене базиса. Квадратичные формы. Формула для преобразования матрицы квадратичной формы при замене базиса. Теорема об инвариантности ранга. Положительно (отрицательная) определенность квадратичной формы, критерий Сильвестра и его следствие. Канонический и нормальный виды квадратичной формы. Литература по теме: [3] §§9.1-9.3; [1] т.2 гл.1 §4; [6] гл.8. 26. Евклидово пространство. Примеры. Неравенство Коши–Буняковского. Ортогональный и ортонормированный базисы. Алгоритм ортогонализации Грама–Шмидта. Существование ортонормированного базиса в любом конечномерном пространстве. Матрица Грама и 5 её свойств: 1) критерий невырожденности, 2) симметричность и положительная определенность, 3) формула для преобразования матрицы Грама при переходе к новому базису, 4) положительность определителя, 5) инвариантность определителя матрицы Грама относительно процесса ортогонализации Грама–Шмидта. Ортогональное дополнение. Разложение евклидова пространства в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения. Ортогональная проекция вектора на подпространство и ортогональная составляющая. Литература по теме: [3] §10.1-10.5; [1] т.2 гл.3 §1; [6] гл.10. 27. Взаимные базисы. Изоморфизм между евклидовым пространством и сопряженным к нему. Биортогональные базисы. Формула для ортогональной проекции вектора на подпространство. Расстояние и угол между вектором и подпространством. Формула для расстояния через определители матриц Грама. Линейные операторы в евклидовом пространстве. Сопряженный оператор. Теорема о существовании сопряженного оператора. Формула для матрицы сопряженного оператора. Самосопряженные (симметрические) операторы. Критерий самосопряженности оператора. Ядро и образ сопряженного оператора. Теоремы Фредгольма. Литература по теме: [3] §§10.5-10.7; [1] т.2 гл.3 §3; [6] гл.11; [16]. 28. Ортогональность собственных векторов самосопряженного оператора, отвечающих разным собственным значениям. Вещественность собственных значений самосопряженного оператора. Теорема о существовании для самосопряженного оператора ортонормированного базиса из собственных векторов. Доказательство этой теоремы в случае различных вещественных собственных значений. Ортогональные матрицы и их свойства. Ортогональные операторы. Теорема о том, что ортогональный оператор переводит ортонормированный базис в ортонормированный и верно обратное. Критерий ортогональности оператора, использующий его матрицу. Канонический вид ортогонального оператора. Теорема Эйлера. Теорема о том, что для любой симметрической матрицы найдется подобная ей диагональная матрица, а подобие будет осуществляется с помощью ортогональной матрицы. Теорема о сингулярном разложении. Утверждение о QR-разложении. Утверждение о полярном разложении. LU-разложение. 29. Полуторалинейная форма. Эрмитова форма. Утверждение о формуле для преобразования матрицы эрмитовой формы при переходе к другому базису. Эрмитово пространство. Унитарные матрицы. Свойства унитарных матриц. Сопряженный оператор в эрмитовом пространстве. Самосопряженный оператор в эрмитовом пространстве. Эрмитовы матрицы. Свойства самосопряженного оператора в эрмитовом пространстве. Унитарный оператор в эрмитовом пространстве. Свойства унитарного оператора. Канонический вид унитарного оператора. Утверждения о полярном и сингулярном разложении в эрмитовом пространстве (формулировка). Литература по теме: [3] §§10.7-10.8; [1] т.2 гл.2 §3 гл.3 §1; [6] гл.11; [16]. 30. Приведение квадратичной формы к каноническому (нормальному) виду методом выделения квадратов (алгоритм Лагранжа). *Метод Якоби. Индексы инерции. Закон инерции квадратичных форм (формулировка). Приведение квадратичных форм к диагональному виду (к главным осям) при помощи ортогональной замены координат.
• Кривые и поверхности второго порядка
  31. Кривые второго порядка. Определение эллипса, гиперболы, параболы, их параметры (в частности, эксцентриситет). Вывод уравнения эллипса. Вывод уравнения параболы. Исследование алгебраического уравнения второго порядка от двух переменных. Оптические свойства кривых второго порядка. Поверхности второго порядка (обзор). Поверхность вращения, цилиндрическая поверхность, линейчатая поверхность. Эллиптический цилиндр, гиперболический цилиндр, параболический цилиндр. Эллипсоид, однополостной гиперболоид, двуполостной гиперболоид, эллиптический параболоид, гиперболический параболоид. Нахождение прямолинейных образующих для однополостного гиперболоида и гиперболического параболоида.

Элементы контроля

• Контрольная работа 1мод.
• Домашнее задание 1-2 мод.
• Экз. раб. -1
• Коллоквиум - 4 мод.
• Экзамен итоговый
• сем. - 1
• НО1
• Контрольная работа 3 мод.
• сем. - 2
• Домашнее задание 3-4 мод.
• НО2
• Экз. раб. -2
  Экзамен проводится в письменной форме с использованием синхронного прокторинга. Экзамен проводится на платформе Moodle, прокторинг на платформе Экзамус (https://hse.student.examus.net). К экзамену необходимо подключиться за 15 минут. На платформе Экзамус доступно тестирование системы. Компьютер студента должен удовлетворять следующим требованиям: https://elearning.hse.ru/data/2020/05/07/1544135594/Технические%20требования%20к%20ПК%20студента.pdf) Для участия в экзамене студент обязан: заранее зайти на платформу прокторинга, провести тест системы, включить камеру и микрофон, подтвердить личность. Во время экзамена студентам запрещено: общаться (в социальных сетях, с людьми в комнате), списывать. Во время экзамена студентам разрешено: пользоваться собственными письменными конспектами (в тетради или на распечатанных листах). Кратковременным нарушением связи во время экзамена считается прерывание связи до 10 минут. Долговременным нарушением связи во время экзамена считается прерывание связи 10 минут и более. При долговременном нарушении связи студент не может продолжить участие в экзамене. Процедура пересдачи аналогична процедуре сдачи.

Промежуточная аттестация

• Промежуточная аттестация (2 модуль)
  Накопленная оценка за 1 – 2 модули: "НО1"=0,5∙О_(Кр-1мод)+0,4∙О_(Дз-1 и 2 мод)+0,1∙О_(Сем-1) Здесь О_(Сем-1)— оценка от 0 до 10 баллов, учитывающая регулярность посещения семинаров, активность на семинарах, в том числе решение задач у доски, и выполнение текущих домашних работ в 1-2 модулях. Результирующая оценка за 1 семестр (1-2 модули): О1=0,4∙НО1+0,6∙О_(Экз.раб.-1)
• Промежуточная аттестация (4 модуль)
  НО2=0,35∙О_(Кр-3мод)+0,4∙О_(Коллоквиум-4мод)+0,12∙О_(Сем-2)+0,13∙О_(Дз-3 и 4 мод) Здесь О_(Сем-2) – оценка от 0 до 10 баллов, учитывающая посещение семинаров, активность на семинарах, в том числе решение задач у доски, и выполнение текущих домашних работ в 3-м и 4-м модулях. Оценки за домашние задания в 1 и 2 модулях, а также в 3 и 4 модулях вычисляются как среднее арифметическое О_(Дз-мод1(3)) и О_(Дз-мод2(4)). В конце четвертого модуля проводится письменный экзамен. Результирующая оценка за курс (в 4-м модуле): О2=0,7∙НО2+0,3∙О_(Экз.раб.-2)

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Курс алгебры, Винберг, Э. Б., 2002
• Линейная алгебра : учебник и практикум для бакалавров, Бурмистрова, Е. Б., 2014

Рекомендуемая дополнительная литература

• Тыртышников, Е. Е. Матричный анализ и линейная алгебра [Электронный ресурс] / Е. Е. Тыртышников. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. - 480 с. - ISBN 978-5-9221-0778-5.