Алгебра и анализ

2020/2021

Учебный год

RUS

Обучение ведется на русском языке

9

Кредиты

Кто читает:

Кафедра высшей математики (Общеуниверситетские кафедры)

Статус:

Курс обязательный

Когда читается:

1-й курс, 2, 3 модуль

Преподаватели

Дружининская Ирина Михайловна

Логвенков Сергей Алексеевич

Шеремет Елизавета Павловна

Программа дисциплины

Аннотация

Настоящая дисциплина относится к блоку дисциплин: Профессиональный цикл (Major) Базовая часть. Для специализации 39.03.01. Социология подготовки бакалавров настоящая дисциплина является базовой. Способствует развитию логического мышления и умения оперировать абстрактными объектами, привитие навыков корректного употребления математических понятий и символов для выражения различных количественных и качественных отношений

Цель освоения дисциплины

• 1. формирование у слушателей высокой математической культуры 2. овладение основными знаниями по математике, необходимыми в практической социально-экономической деятельности 3. ясное понимание математической составляющей в общей подготовке специалиста в области социологии.

Планируемые результаты обучения

• Для реализации поставленной цели в ходе изучения курса «Алгебра и анализ» решается задача обеспечения широкого, общего и достаточно фундаментального математического образования студентов социально-экономических специальностей.
• Фундаментальность подготовки включает в себя достаточную общность математических понятий и конструкций, обеспечивающую широкий спектр их применимости, разумную точность формулировок математических свойств исследуемых объектов, логическую строгость изложения предмета, опирающуюся на адекватный современный математический язык.

Содержание учебной дисциплины

• Тема 1.1. Линейные пространства.
  Определение и примеры линейных пространств. Векторы. Линейные операции над векторами. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис, координаты, размерность линейного пространства. Разложение вектора по базису. Скалярное произведение векторов. Вычисление скалярного произведения векторов, заданных своими координатами. Вычисление длины вектора и расстояния между точками. Угол между векторами.
• Тема 1.2. Матрицы.
  Матрицы и арифметические операции с матрицами. Понятие определителя n-го порядка. Определители квадратных матриц 2-го и 3-го порядков. Свойства определителей и способы их вычисления. Элементарные преобразования матрицы. Ранг системы векторов, ранг матрицы и способы их вычисления.
• Тема 1.3. Системы линейных уравнений.
  Системы линейных неоднородных уравнений. Критерий совместности. Системы линейных однородных алгебраических уравнений, теорема о размерности пространств решений. Условия существования нетривиального решения однородной системы линейных алгебраических уравнений. Структура общего решения неоднородной системы линейных уравнений. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса и методом Крамера. Существование и нахождение обратной матрицы, матричные уравнения.
• Тема 1.4. Собственные векторы и собственные значения матриц.
  Собственные векторы и собственные значения линейных операторов. Применение элементов линейной алгебры в экономике: модель Леонтьева многоотраслевой экономики, модель международной торговли.
• Тема 2.1. Функции одной переменной, основы теории пределов, непрерывность.
  Предел последовательности и предел функции. Основные теоремы о пределах. Порядок малости. Эквивалентные бесконечно малые функции и их использование при вычислении пределов. Непрерывность функции в точке. Непрерывность суммы, произведения и частного непрерывных функций, непрерывность сложной функции. Теоремы о функциях, непрерывных на отрезке: теорема о промежуточном значении, 1-я и 2-я теоремы Вейерштрасса.
• Тема 2.2. Дифференциальное исчисление.
  Производная функции в точке, ее геометрический, физический и экономический смысл. Дифференциал функции. Правила дифференцирования суммы, произведения и частного двух функций. Логарифмическое дифференцирование. Производная обратной функции. Таблица 3 производных основных элементарных функций. Производная сложной функции. Неявно заданная функция и ее дифференцирование. Производная функции, заданной параметрически. Понятие о производных высших порядков. Применение дифференциала к приближенным вычислениям. Понятие эластичности функции. Теоремы о дифференцируемых функциях (Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши). Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей 0/0 и ∞/∞. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Условия монотонности функций. Локальные экстремумы функций, необходимое и достаточное условие экстремума. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке. Направление выпуклости и точки перегиба графика функции. Выпуклые функции и теоремы об экстремумах выпуклых функций. Асимптоты кривых. Общая схема исследования функций и построения их графиков. Приложения производных в экономической теории.
• Тема 2.3. Интегральное исчисление.
  Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных неопределенных интегралов. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование по частям. Интегрирование простейших рациональных дробей. Задача о вычислении площади криволинейной трапеции. Определенный интеграл и его свойства. Теорема о производной определенного интеграла по переменному верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление определенного интеграла методом замены переменной. Интегрирование по частям. Несобственный интеграл.
• Тема 3.1. Функции нескольких переменных, основы теории пределов, непрерывность.
  Определение функции двух переменных. Геометрическая интерпретация функции двух переменных. Линии уровня. Обобщение на функции произвольного числа переменных. Предел и непрерывность функций нескольких переменных. Точки разрыва функций. Формулировка основных свойств функций, непрерывных в замкнутой ограниченной области.
• Тема 3.2. Функции нескольких переменных, дифференциальное исчисление.
  Частные производные функций многих переменных и их геометрический смысл. Дифференцируемость функций многих переменных. Достаточное условие дифференцируемости. Первый дифференциал функции нескольких переменных и его применение в приближенных вычислениях. Частные производные сложной функции. Производная по направлению. Градиент функции и его свойства. Частные производные высших порядков. Формулировка теоремы о перестановке порядка дифференцирования. Дифференциалы высшего порядка. Формула Тейлора для функции нескольких переменных.
• Тема 3.3. Экстремумы функций нескольких переменных.
  Необходимое условие экстремума. Квадратичная форма и ее матрица. Знакоопределенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра постоянства знака квадратичной формы. Достаточные условия максимума и минимума. Выпуклые функции многих переменных. Теоремы об экстремумах выпуклых функций. Условный экстремум функции многих переменных. Метод множителей Лагранжа. Геометрическая интерпретация необходимого условия локального условного экстремума. Достаточное условие локального условного экстремума. Нахождение наибольших и наименьших значений функций нескольких переменных в замкнутой ограниченной области. Функции нескольких переменных в задачах экономики. Оптимизационные задачи на основе производственных функций. Понятие о методе наименьших квадратов.

Элементы контроля

• Контрольные работы
  средняя оценка за 2 работы
• Работа на семинаре
• Экзамен

Промежуточная аттестация

• Промежуточная аттестация (3 модуль)
  0.26 * Контрольные работы + 0.2 * Работа на семинаре + 0.54 * Экзамен

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Линейная алгебра. Основы теории, примеры и задачи, Логвенков, С. А., 2017
• Основы математики и ее приложения в экономическом образовании : учебник для вузов, Красс, М. С., 2001
• Сборник задач по алгебре : учеб. пособие для фак. менеджмента, политологии и социологии, Логвенков, С. А., 2010

Рекомендуемая дополнительная литература

• Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии : учеб. пособие, Бурмистрова, Е. Б., 1998
• Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии : учебник для вузов, Бугров, Я. С., 1997