Линейная алгебра

2019/2020

Учебный год

RUS

Обучение ведется на русском языке

6

Кредиты

Кто читает:

Департамент математики

Статус:

Курс обязательный

Когда читается:

1-й курс, 1, 2 модуль

Преподаватели

Деменко Виктория Николаевна

Золотухина Алевтина Федоровна

Кобцев Иван Федорович

Мещерякова Наталья Геннадьевна

Салимова Альфия Фаизовна

Швыдун Сергей Владимирович

Программа дисциплины

Аннотация

Изучение дисциплины «Линейная алгебра» базируется на следующих дисциплинах: математика в объеме программы средней школы. Для освоения учебной дисциплины студенты должны владеть следующими знаниями и компетенциями: знаниями основных понятий и теорем математики в объеме средней школы; навыками решения типовых задач математики в объеме средней школы. Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин: теория вероятностей и математическая статистика; математический анализ; эконометрика; методы оптимальных решений; теория игр; математическая экономика; микроэкономика; макроэкономика.

Цель освоения дисциплины

• ознакомление студентов с основами линейной алгебры и дискретной математики
• формирование навыков работы с абстрактными понятиями линейной алгебры и дискретной математики
• знакомство с прикладными задачами дисциплины
• обеспечение запросов других математических дисциплин
• подготовка к изучению современных курсов по экономической теории

Планируемые результаты обучения

• Формулирует основные понятия и теоремы линейной алгебры и дискретной математики, необходимые для дальнейшего изучения дисциплин, предусмотренных базовым и рабочим учебными планами;
• Интерпретирует основные понятия линейной алгебры и дискретной математики на простых модельных примерах, применяет методы дисциплины при решении задач, возникающих в других дисциплинах;
• подбирает информацию из различных источников для занятий, а также применяет современный инструментарий дисциплины при решении задач, возникающих в других дисциплинах;

Содержание учебной дисциплины

• Множества и отображения
  Множества, подмножества. Универсальное множество. Способы задания множеств. Недопустимые логические высказывания. Парадокс Рассела. Операции над множествами: объединение, пересечение, дополнение, разность множеств, симметрическая разность, разбиение. Декартово произведение множеств. Диаграмма Эйлера-Венна. Число элементов конечного множества. Алгебраические законы операций над множествами. Принцип двойственности. Отображения. Область определения и область значений отображения.
• Введение в логику
  Функции алгебры логики. Способы задания логический функций. Суперпозиция функции. Формулы над системой логических функций или их суперпозиций. Булева алгебра. Разложение функций по переменным. Булева алгебра функций и эквивалентные преобразования в ней. Совершенные конъюктивные и дизъюктивные формы.
• Основы теории графов
  Бинарные отношения и графы. Способы представления графов. Виды графов. Смежность и инцидентность в графах. Связность графа. Компоненты связности в ориентированных и неориентированных графах. Изоморфизм и гомоморфизм графов. Свойства графа, сохраняющиеся при гомоморфизмах и изоморфизмах. Маршруты, цепи, циклы. Эйлеровы пути и циклы. Гамильтоновы пути и циклы. Эйлеровость графов. Теорема Дирака.
• Комбинаторика
  Предмет комбинаторики. Правило суммы и произведения. Принцип включения и исключения. Основные комбинаторные величины и их свойства. Формулы для k-размещений. Перестановки, сочетания без повторений и с повторениями. Биномиальные коэффициенты и соотношения для них. Примеры решаемых с их помощью комбинаторных задач.
• Векторы, матрицы, определители
  Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Геометрическая интерпретация решений этих систем. Экономическая интерпретация: модель равновесия. Матрицы. Виды матриц. Понятие вектора как упорядоченного набора чисел. Линейные операции над векторами и матрицами. Свойства арифметических операций над матрицами. Умножение матриц. Транспонирование матриц. Линейная зависимость и линейная независимость векторов. Ранг матрицы как максимальное количество линейно независимых строк. Применение матриц к решению экономических задач. Задача об определении затрат и общей стоимости сырья, необходимых для планового выпуска продукции. Определители квадратных матриц второго и третьего порядков. Миноры, алгебраические дополнения. Определитель nго порядка, его свойства и способы вычисления. Определитель транспонированной матрицы. Определитель произведения двух матриц. Обратная матрица. Свойства обратной матрицы и способы ее нахождения. Геометрические векторы на плоскости и в трехмерном пространстве. Коллинеарность и компланарность векторов. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов, их выражение в координатной форме. Геометрические приложения.
• Системы линейных уравнений
  Правило Крамера для систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными, трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Матрица и расширенная матрица системы линейных уравнений. Элементарные преобразования матриц. Приведение матрицы к ступенчатому виду. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли о совместности системы линейных уравнений. Структура множества решений неоднородной системы линейных уравнений. Решение задач с экономическим содержанием. Системы линейных уравнений в матричной форме. Решение матричных уравнений. Задача балансового анализа (модель Леонтьева). Матрица прямых затрат. Матрица полных затрат. Продуктивная матрица.
• Линейные пространства и линейные отображения
  Понятие линейного пространства. Вектор как элемент линейного пространства. Базис линейного конечномерного пространства. Координаты вектора в базисе. Размерность линейного пространства. Матрица перехода от старого базиса к новому. Понятие линейного подпространства линейного пространства. Понятие линейного отображения линейных пространств. Матрица линейного отображения. Ядро и образ линейного отображения и их размерности. Преобразование матрицы линейного отображения при изменении базиса. Собственные значения матрицы линейного отображения и собственные векторы. Характеристический многочлен и характеристическое уравнение. Приведение матрицы линейного отображения к диагональному виду с помощью перехода к базису из собственных векторов. Модель международной торговли. Понятие евклидова пространства. Неравенство Коши-Буняковского. Матрица Грама. Ортогональный и ортонормированный базис. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта.
• Квадратичные формы и их матрицы
  Понятие квадратичной формы. Матрица квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы. Закон инерции для квадратичных форм.
• Линейное программирование
  Задача об использовании ресурсов в производстве. Выпуклые множества. Понятие целевой функции. Допустимые и оптимальные решения. Транспортная задача. Элементы теории двойственности. Связь исходных и двойственных задач. Теоремы двойственности. Экономическая интерпретация двойственных переменных. Основная теорема двойственности, критерий оптимальности допустимых решений. Обобщение метода Леонтьева. Многофакторное производство и линейное программирование.

Элементы контроля

• O_(к.р.1)
• O_(к.р.2)
• O_(д.к.р.)
• O_I
• О_II
• O_(экз.)
• O_(акт.)

Промежуточная аттестация

• Промежуточная аттестация (2 модуль)
  Преподаватель оценивает контрольные работы, домашнюю контрольную работу и экзаменационную работу студентов, а также выполнение текущих домашних заданий, в стобалльной шкале. По результатам первого модуля формируется оценка O_I по следующему правилу: O_I=O_(к.р.1), где O_(к.р.1) есть результат выполнения студентом аудиторной контрольной работы в первом модуле (часть 1, элементы дискретной математики) в стобалльной шкале. В случае получения оценки O_(к.р.1) в пределах O_(к.р.1)∈[0,39] либо пропуска этой работы по любой причине студенту предоставляется право одной пересдачи контрольной работы №1. По результатам второго модуля формируется оценка O_II по следующему правилу: O_II=min⁡(O_(к.р.2),O_(д.к.р.) ), где O_(к.р.2) есть результат выполнения студентом аудиторной контрольной работы в первом модуле (часть 2, элементы линейной алгебры) в стобалльной шкале, оценка O_(д.к.р.) есть результат выполнения студентом домашней контрольной работы (варианты выдаются в первом модуле, работы собираются на первой неделе второго модуля). Данная программа не предусматривает возможность пересдачи неудовлетворительных оценок, полученных за контрольную работу №2 и домашнюю контрольную работу, а также возможность компенсировать оценки за эти элементы контроля, не полученные вследствие пропуска семинарского занятия по любой причине. В этом случае соответствующий элемент контроля оценивается в 0 баллов. Далее вычисляется оценка O_(итог.) По следующей формуле: O_(итог.)=0,2O_I+0,15O_II+〖0,05O〗_(акт.)+0,6O_(экз.), где оценка O_(акт.) выставляется как среднее арифметическое всех оценок за все выданные домашние задания в первом и втором модулях по части 2 (элементы линейной алгебры), округленная до целого числа с помощью обычной арифметики округления, O_(экз.) – оценка за письменную экзаменационную работу (проводится 120 минут). Оценка O_(итог.) переводится в стобалльную систему с помощью обычной арифметики округления до целого числа. Результирующая оценка O_(рез.) по дисциплине получается путем перевода оценки O_(итог.) в десятибалльную шкалу, т.е. вычисляется значение 〖0,1O〗_(итог.) с последующим округлением до целого числа с помощью обычной арифметики округления. Исключение составляют случаи, когда O_(итог.)∈[35;39]. В этом случае результирующая оценка за курс равна 3 баллам в десятибалльной шкале. Оценка O_(рез.) выставляется в диплом. Элементы контроля, предусмотренные данной программой, не являются блокирующими.

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Бинарные отношения, графы и коллективные решения : учеб. пособие для вузов, Алескеров, Ф. Т., 2006
• Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии : учеб. пособие, Бурмистрова, Е. Б., 1998
• Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре : учеб. пособие для вузов, Беклемишева, Л. А., 2001

Рекомендуемая дополнительная литература

• Задачи и упражнения по дискретной математике : учеб. пособие, Гаврилов, Г. П., 2005
• Линейная алгебра : учеб. пособие для вузов, Шевцов, Г. С., 1999
• Сборник задач по линейной алгебре : учеб. пособие для вузов, Проскуряков, И. В., 1999