Дополнительные разделы математической физики

2025/2026

Статус: Маго-лего

Кто читает: Департамент физики

Где читается: Школа информатики, физики и технологий

Когда читается: 3, 4 модуль

Охват аудитории: для своего кампуса

Преподаватели: Пашковский Дмитрий Максимович

Язык: русский

Кредиты: 6

Контактные часы: 48

Дополнительные материалы в LMS Задать вопрос

Аннотация

Дисциплина дает студентам представление о корректной постановке задач математической физики, о методах решения дифференциальных уравнений в частных производных, построения аналитических решений основных задач теории теплопроводности. В результате освоения дисциплины приобретаются умения, позволяющие с высокой степенью самостоятельности осваивать новые математические методы и строить сложные математические модели с целью дальнейшего их использования в профессиональной деятельности.

Цель освоения дисциплины

Овладеть базовыми понятиями линейной теории волн: волновые пакеты, преобразование Фурье, дисперсия, групповая и фазовая скорости — и применять их для анализа распространения волн в линейных средах.
Находить частные солитонные решения ключевых нелинейных уравнений математической физики: Кортевега–де Фриза, Бюргерса, синус-Гордона и нелинейного уравнения Шрёдингера.
Понимать общую схему метода обратной задачи рассеяния как нелинейного аналога метода Фурье, различать прямую и обратную задачи рассеяния.
Овладеть необходимым математическим аппаратом: теорией Штурма–Лиувилля для сингулярных и регулярных задач, методами решения интегральных уравнений Вольтерры и Фредгольма с вырожденным ядром.
Применять метод обратной задачи рассеяния к уравнению Кортевега–де Фриза (включая дискретный спектр) и строить многосолитонные решения.
Использовать метод обратной задачи рассеяния для решения уравнений синус-Гордона и нелинейного уравнения Шрёдингера, интерпретировать полученные солитонные решения в физических приложениях.

Планируемые результаты обучения

Студент объясняет физический смысл волновых пакетов и дисперсии, использует преобразование Фурье для решения линейного волнового уравнения.
Студент выводит односолитонные решения для уравнений Кортевега–де Фриза, Бюргерса, синус-Гордона и нелинейного Шрёдингера методом бегущей волны
Студент различает прямую и обратную задачи рассеяния, формулирует общую схему метода обратной задачи как нелинейного аналога метода Фурье.
Студент решает задачу Штурма–Лиувилля для простейших потенциалов, вычисляет данные рассеяния (коэффициенты отражения и прохождения, связанные состояния).
Строит многосолитонные решения уравнения Кортевега–де Фриза, используя алгоритм метода обратной задачи в безотражательном случае.
Решает методом обратной задачи рассеяния уравнение синус-Гордона и нелинейное уравнение Шрёдингера.

Содержание учебной дисциплины

Раздел 1. Введение в теорию линейных волн и нелинейные солитонные уравнения
Раздел 2. Частные солитонные решения и предшественники метода обратной задачи
Раздел 3. Математический аппарат метода обратной задачи рассеяния
Раздел 4. Метод обратной задачи рассеяния для основных интегрируемых уравнений

Элементы контроля

Решение задач Штурма -Лиувилля для дифференциальных уравнений второго порядка
В рамках задания студентам даются индивидуальные варианты, содержащие по 4 задачи. Каждый пример представляет из себя задачу Штурма-Лиувилля для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. В вариантах присутствуют регулярные и сингулярный задачи Штурма-Лиувилля. Требуется определить собственные числа и собственные функции.
Решение интегральных уравнений Фредгольма
В рамках работы студентам даются индивидуальные варианты, содержащие по 3 задачи. Каждый пример представляет из себя интегральное уравнение Фредгольма второго рода с вырожденным ядром. Требуется найти решение данных интегральных уравнений и исследовать их на разрешимость при различных значениях спектрального параметра.
Решение нелинейных уравнений в частных производных методом обратной задачи рассеяния
В рамках работы студентам даются индивидуальные варианты, содержащие по 2 задачи. Каждый пример представляется задачу Коши для одного из нелинейных уравнений в частных производных: Кортевега де Фриза, синус-Гордона и нелинейное уравнение Шредингера. В рамках заданий требуется применить метод обратной задачи рассеяния для получения N-солитонного решения в случае безотлагательного потенциала. Построить конкретные решения для случая двух- и трех- солитонного решения. Визуализировать графики решения на языке Python. Провести анализ решений в зависимости от параметров.
Экзамен
Экзамен состоит из двух частей – теоретической и практической. Экзамен проверяет владение материалом всех разделов и способность применять метод обратной задачи рассеяния к новым, не разбиравшимся детально на занятиях, интегрируемым уравнениям.

Промежуточная аттестация

2025/2026 4th module
0.2 * Решение нелинейных уравнений в частных производных методом обратной задачи рассеяния + 0.2 * Решение интегральных уравнений Фредгольма + 0.2 * Решение задач Штурма -Лиувилля для дифференциальных уравнений второго порядка + 0.4 * Экзамен

Список литературы

Авторы

Журихина Валентина Владимировна

Программа дисциплины