• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
Бакалавриат 2016/2017

Линейная алгебра

Статус: Курс обязательный (Мировая экономика)
Направление: 38.03.01. Экономика
Когда читается: 1-й курс, 1, 2 модуль
Формат изучения: Full time
Язык: русский
Кредиты: 6

Программа дисциплины

Аннотация

Изучение дисциплины «Линейная алгебра» базируется на следующих дисциплинах: математика в объеме программы средней школы. Для освоения учебной дисциплины студенты должны владеть следующими знаниями и компетенциями: знаниями основных понятий и теорем математики в объеме средней школы; навыками решения типовых задач математики в объеме средней школы. Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин: теория вероятностей и математическая статистика; математический анализ; эконометрика; методы оптимальных решений; теория игр; математическая экономика; микроэкономика; макроэкономика.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • ознакомление студентов с основами линейной алгебры и дискретной математики
  • формирование навыков работы с абстрактными понятиями линейной алгебры и дискретной математики
  • знакомство с прикладными задачами дисциплины
  • обеспечение запросов других математических дисциплин
  • подготовка к изучению современных курсов по экономической теории
Результаты освоения дисциплины

Результаты освоения дисциплины

  • Формулирует основные понятия и теоремы линейной алгебры и дискретной математики, необходимые для дальнейшего изучения дисциплин, предусмотренных базовым и рабочим учебными планами;
  • Интерпретирует основные понятия линейной алгебры и дискретной математики на простых модельных примерах, применяет методы дисциплины при решении задач, возникающих в других дисциплинах;
  • подбирает информацию из различных источников для занятий, а также применяет современный инструментарий дисциплины при решении задач, возникающих в других дисциплинах;
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Множества и отображения
    Множества, подмножества. Универсальное множество. Способы задания множеств. Недопустимые логические высказывания. Парадокс Рассела. Операции над множествами: объединение, пересечение, дополнение, разность множеств, симметрическая разность, разбиение. Декартово произведение множеств. Диаграмма Эйлера-Венна. Число элементов конечного множества. Алгебраические законы операций над множествами. Принцип двойственности. Отображения. Область определения и область значений отображения.
  • Введение в логику
    Функции алгебры логики. Способы задания логический функций. Суперпозиция функции. Формулы над системой логических функций или их суперпозиций. Булева алгебра. Разложение функций по переменным. Булева алгебра функций и эквивалентные преобразования в ней. Совершенные конъюктивные и дизъюктивные формы.
  • Основы теории графов
    Бинарные отношения и графы. Способы представления графов. Виды графов. Смежность и инцидентность в графах. Связность графа. Компоненты связности в ориентированных и неориентированных графах. Изоморфизм и гомоморфизм графов. Свойства графа, сохраняющиеся при гомоморфизмах и изоморфизмах. Маршруты, цепи, циклы. Эйлеровы пути и циклы. Гамильтоновы пути и циклы. Эйлеровость графов. Теорема Дирака.
  • Комбинаторика
    Предмет комбинаторики. Правило суммы и произведения. Принцип включения и исключения. Основные комбинаторные величины и их свойства. Формулы для k-размещений. Перестановки, сочетания без повторений и с повторениями. Биномиальные коэффициенты и соотношения для них. Примеры решаемых с их помощью комбинаторных задач.
  • Векторы, матрицы, определители
    Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Геометрическая интерпретация решений этих систем. Экономическая интерпретация: модель равновесия. Матрицы. Виды матриц. Понятие вектора как упорядоченного набора чисел. Линейные операции над векторами и матрицами. Свойства арифметических операций над матрицами. Умножение матриц. Транспонирование матриц. Линейная зависимость и линейная независимость векторов. Ранг матрицы как максимальное количество линейно независимых строк. Применение матриц к решению экономических задач. Задача об определении затрат и общей стоимости сырья, необходимых для планового выпуска продукции. Определители квадратных матриц второго и третьего порядков. Миноры, алгебраические дополнения. Определитель nго порядка, его свойства и способы вычисления. Определитель транспонированной матрицы. Определитель произведения двух матриц. Обратная матрица. Свойства обратной матрицы и способы ее нахождения. Геометрические векторы на плоскости и в трехмерном пространстве. Коллинеарность и компланарность векторов. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов, их выражение в координатной форме. Геометрические приложения.
  • Системы линейных уравнений
    Правило Крамера для систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными, трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Матрица и расширенная матрица системы линейных уравнений. Элементарные преобразования матриц. Приведение матрицы к ступенчатому виду. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли о совместности системы линейных уравнений. Структура множества решений неоднородной системы линейных уравнений. Решение задач с экономическим содержанием. Системы линейных уравнений в матричной форме. Решение матричных уравнений. Задача балансового анализа (модель Леонтьева). Матрица прямых затрат. Матрица полных затрат. Продуктивная матрица.
  • Линейные пространства и линейные отображения
    Понятие линейного пространства. Вектор как элемент линейного пространства. Базис линейного конечномерного пространства. Координаты вектора в базисе. Размерность линейного пространства. Матрица перехода от старого базиса к новому. Понятие линейного подпространства линейного пространства. Понятие линейного отображения линейных пространств. Матрица линейного отображения. Ядро и образ линейного отображения и их размерности. Преобразование матрицы линейного отображения при изменении базиса. Собственные значения матрицы линейного отображения и собственные векторы. Характеристический многочлен и характеристическое уравнение. Приведение матрицы линейного отображения к диагональному виду с помощью перехода к базису из собственных векторов. Модель международной торговли. Понятие евклидова пространства. Неравенство Коши-Буняковского. Матрица Грама. Ортогональный и ортонормированный базис. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта.
  • Квадратичные формы и их матрицы
    Понятие квадратичной формы. Матрица квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы. Закон инерции для квадратичных форм.
  • Линейное программирование
    Задача об использовании ресурсов в производстве. Выпуклые множества. Понятие целевой функции. Допустимые и оптимальные решения. Транспортная задача. Элементы теории двойственности. Связь исходных и двойственных задач. Теоремы двойственности. Экономическая интерпретация двойственных переменных. Основная теорема двойственности, критерий оптимальности допустимых решений. Обобщение метода Леонтьева. Многофакторное производство и линейное программирование.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий O_(к.р.1)
  • неблокирующий O_(к.р.2)
  • неблокирующий O_(д.к.р.)
  • неблокирующий O_I
  • неблокирующий О_II
  • неблокирующий O_(экз.)
  • неблокирующий O_(акт.)
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (2 модуль)
    Преподаватель оценивает контрольные работы, домашнюю контрольную работу и экзаменационную работу студентов, а также выполнение текущих домашних заданий, в стобалльной шкале. По результатам первого модуля формируется оценка O_I по следующему правилу: O_I=O_(к.р.1), где O_(к.р.1) есть результат выполнения студентом аудиторной контрольной работы в первом модуле (часть 1, элементы дискретной математики) в стобалльной шкале. В случае получения оценки O_(к.р.1) в пределах O_(к.р.1)∈[0,39] либо пропуска этой работы по любой причине студенту предоставляется право одной пересдачи контрольной работы №1. По результатам второго модуля формируется оценка O_II по следующему правилу: O_II=min⁡(O_(к.р.2),O_(д.к.р.) ), где O_(к.р.2) есть результат выполнения студентом аудиторной контрольной работы в первом модуле (часть 2, элементы линейной алгебры) в стобалльной шкале, оценка O_(д.к.р.) есть результат выполнения студентом домашней контрольной работы (варианты выдаются в первом модуле, работы собираются на первой неделе второго модуля). Данная программа не предусматривает возможность пересдачи неудовлетворительных оценок, полученных за контрольную работу №2 и домашнюю контрольную работу, а также возможность компенсировать оценки за эти элементы контроля, не полученные вследствие пропуска семинарского занятия по любой причине. В этом случае соответствующий элемент контроля оценивается в 0 баллов. Далее вычисляется оценка O_(итог.) По следующей формуле: O_(итог.)=0,2O_I+0,15O_II+〖0,05O〗_(акт.)+0,6O_(экз.), где оценка O_(акт.) выставляется как среднее арифметическое всех оценок за все выданные домашние задания в первом и втором модулях по части 2 (элементы линейной алгебры), округленная до целого числа с помощью обычной арифметики округления, O_(экз.) – оценка за письменную экзаменационную работу (проводится 120 минут). Оценка O_(итог.) переводится в стобалльную систему с помощью обычной арифметики округления до целого числа. Результирующая оценка O_(рез.) по дисциплине получается путем перевода оценки O_(итог.) в десятибалльную шкалу, т.е. вычисляется значение 〖0,1O〗_(итог.) с последующим округлением до целого числа с помощью обычной арифметики округления. Исключение составляют случаи, когда O_(итог.)∈[35;39]. В этом случае результирующая оценка за курс равна 3 баллам в десятибалльной шкале. Оценка O_(рез.) выставляется в диплом. Элементы контроля, предусмотренные данной программой, не являются блокирующими.
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Бинарные отношения, графы и коллективные решения : учеб. пособие для вузов, Алескеров Ф. Т., Хабина Э. Л., 2006
  • Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии : Учеб. пособие, Бурмистрова Е. Б., Лобанов С. Г., 1998
  • Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре : Учеб. пособие для вузов, Беклемишева Л. А., Петрович А. Ю., 2001

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Задачи и упражнения по дискретной математике : учеб. пособие, Гаврилов Г. П., Сапоженко А. А., 2005
  • Линейная алгебра : учеб. пособие для вузов, Шевцов Г. С., 1999
  • Сборник задач по линейной алгебре : Учеб.пособие для вузов, Проскуряков И. В., 1999