• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
Бакалавриат 2016/2017

Функциональный анализ

Статус: Курс обязательный (Прикладная математика)
Направление: 01.03.04. Прикладная математика
Когда читается: 3-й курс, 1, 2 модуль
Язык: русский
Кредиты: 3

Программа дисциплины

Аннотация

Настоящая дисциплина относится к циклу базовых дисциплин профессионального цикла. Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах: Математический анализ, Алгебра, Линейная алгебра и аналитическая геометрия, Дифференциальные уравнения. Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и компетенциями: знаниями основных определений и теорем перечисленных выше дисциплин, навыками решения типовых задач этих дисциплин. Основные положения дисциплины могут быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин: «Уравнения математической физики», «Методы оптимизации», «Теория вероятностей и математическая статистика», «Численные методы», «Теория управления», «Теория случайных процессов».
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Ознакомление студентов с основами теории функций и функционального анализа
  • Знакомство с некоторыми прикладными задачами дисциплины
Результаты освоения дисциплины

Результаты освоения дисциплины

  • Знание основных положений теории меры и интегрирования; теории метрических, нормированных и евклидовых пространств; теории линейных функционалов и линейных операторов, включая элементы спектрального анализа; теории преобразования Фурье
  • Умение применять методы функционального анализа к решению теоретических и прикладных задач, в том числе, к решению теоретико-вероятностных задач, задач математической физики, задач оптимального управления, задач математического моделирования
  • Приобретение навыков использования стандартных методов функционального анализа и их применения к решению теоретических и прикладных задач
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Нормированные пространства. Банаховы пространства
    Строго нормированные пространства. Элемент наилучшего приближения (ЭНП). Решение задачи о нахождении ЭНП в ГП. Теорема об изоморфизме бесконечномерных сепарабельных гильбертовых пространств. ЭНП в линейных нормированных пространствах. Строго нормированные пространства.
  • Евклидовы пространства. Гильбертовы пространства
    Евклидовы пространства: определение, примеры. Ортонормированные системы. Теорема Пифагора в гильбертовом пространстве (ГП). Теорема об ортогональном дополнении. Разложение Фурье. Проекция.
  • Линейные непрерывные функционалы
    Функционалы: определение, примеры. Сопряжённое пространство. Теорема Рисса. Ограниченные линейные функционалы в пространстве C[a,b]: примеры, дельта-функция. Два вида сходимости в сопряженном пространстве, связь между ними. Критерий слабой сходимости в сопряжённом пространстве.
  • Линейные непрерывные операторы
    Примеры линейных непрерывных операторов в различных пространствах, их нормы. Обратимый и обратный операторы. Теорема Банаха об обратном операторе. Обратимость оператора, близкого к обратимому. Условие обратимости диагонального оператора. Спектр. Резольвента. Теорема о ряде Неймана. Конечномерные, компактные операторы: определение, примеры, интегральные операторы. Метод решения уравнения Фредгольма. Теорема о спектре компактного оператора. Сопряжённый оператор: определение, примеры (сопряжённые ограниченному диагональному, интегральному операторам в соответствующих пространствах). Самосопряжённый оператор; норма, спектральный радиус, теорема Гильберта-Шмидта о компактном самосопряжённом операторе.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Created with Sketch. Коллоквиум
  • неблокирующий Created with Sketch. Промежуточная аттестация
  • неблокирующий Created with Sketch. Итоговая аттестация
  • неблокирующий Created with Sketch. Контрольная работа 2
  • неблокирующий Created with Sketch. Контрольная работа 1
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (2 модуль)
    Вычисляется накопленная оценка по формуле 0,3* итог 2 курс + 0,2 * контрольная 1+ 0,2 * контрольная 2 + 0,3 * коллоквиум. О итоговая = 0,4 О накопленная + 0,6 О экзамен.
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Элементы теории функций и функционального анализа, Колмогоров А. Н., Фомин С. В., 2006

Рекомендуемая дополнительная литература

  • - Гуревич А. П., Корнев В. В., Хромов А. П. — Сборник задач по функциональному анализу - Издательство "Лань" - 2012 - ISBN: 978-5-8114-1274-7 - Текст электронный // ЭБС Лань - URL: https://e.lanbook.com/book/3175
  • - Колмогоров А.Н., Фомин С.В. — Элементы теории функций и функционального анализа - Издательство "Физматлит" - 2009 - ISBN: 978-5-9221-0266-7 - Текст электронный // ЭБС Лань - URL: https://e.lanbook.com/book/2206