• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
Бакалавриат 2016/2017

Математический анализ

Статус: Курс обязательный (Экономика)
Направление: 38.03.01. Экономика
Когда читается: 1-й курс, 1-4 модуль
Язык: русский
Кредиты: 16

Программа дисциплины

Аннотация

Целью освоения дисциплины «Математический анализ» является изучение разделов «Пре-делы функций», «Дифференциальное исчисление», «Интегральное исчисление», «Числовые и функциональные ряды» и «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравне-ний», позволяющие студенту ориентироваться в таких дисциплинах, как «Теория вероятностей и математическая статистика», «Методы оптимальных решений – I», «Методы оптимальных реше-ний – II», «Микроэкономика», «Макроэкономика», «Теория игр», «Эконометрика». Курс "Матема-тический анализ" будет использоваться в теории и приложениях дисциплин экономического цик-ла. Материалы курса могут быть использованы для разработки и применения численных мето-дов решения задач из многих областей знания, для построения и исследования математических мо-делей в различных предметных областях, в первую очередь в экономике. Дисциплина является модельным прикладным аппаратом для изучения студентами-экономистами математической компоненты своего профессионального образования.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • изучение разделов «Пределы функций», «Дифференциальное исчисление», «Интегральное исчис-ление», «Числовые и функциональные ряды» и «Дифференциальные уравнения и системы диффе-ренциальных уравнений», позволяющие студенту ориентироваться в таких дисциплинах, как «Теория вероятностей и математическая статистика», «Методы оптимальных решений – I», «Мето-ды оптимальных решений – II», «Микроэкономика», «Макроэкономика», «Теория игр», «Эконо-метрика»
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • демонстрирует знание базовых понятий теории множеств и операций над ними, основных функций и их свойств, умение строить, в том числе с помощью простейших преобразований, графики функций, работать с множествами, знание понятий обратная функция, композиция функций
  • демонстрирует знание понятий предела функции, непрерывности функции, умение вычислять пределы, исследовать функцию на непрерывность
  • демонстрирует умение дифференцировать функции, вычислять пределы функций с помощью производной, исследовать функции и строить их графики с помощью производных
  • демонстрирует знание геометрической интерпретации двумерных векторов, понятий расстояния и последовательности на плоскости
  • демонстрирует умение работать с функциями нескольких переменных – находить ООФ, линии и поверхности уровня
  • демонстрирует знание свойств неопределенного интеграла
  • демонстрирует знание интегралов от основных элементарных функций и табличных интегралов
  • знает основные методы интегрирования
  • демонстрирует знание свойств определенного интеграла
  • демонстрирует умение пользоваться заменой переменной и формулой интегрирования по частям для определенного интеграла
  • демонстрирует знание абсолютной и условной сходимости несобственных интегралов и признаков сходимости
  • умеет сводить двойной интеграл к повторному и заменять переменную в двойном интеграле
  • умеет вычислять площадь криволинейной фигуры с помощью двойного интеграла
  • демонстрирует знание необходимого условия сходимости ряда и признаки сходимости для знакопостоянных и знакочередующихся рядов
  • демонстрирует знание сходимости и равномерной сходимости функционального ряда
  • демонстрирует знание понятий промежутка и радиуса сходимости степенного ряда и формулы для вычисления радиуса сходимости
  • знает теорему о представлении функции в виде ее ряда Фурье
  • демонстрирует знание основных понятий теории дифференциальных уравнений
  • умеет классифицировать дифференциальные уравнения первого и высших порядков
  • умеет находить общее и частное решение ДУ
  • умеет находить частные решения неоднородных уравнений с правыми частями специального вида
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Введение. Элементы теории множеств
    Элементы математической логики: логические символы, утверждение, следствие, прямая и обратная теоремы, необходимые и достаточные условия. Элементы теории множеств Понятие множества и подмножества. Пустое множество. Операции над множествами. Декартово произведение множеств. Соответствие, отношение, бинарное отношение. Эквивалентные множества, счетные и несчетные множества. Примеры. Метод математической индукции. Множество всех действительных чисел и множество всех точек числовой прямой, эквивалентность этих множеств. Свойства действительных чисел. Подмножества множества действительных чисел. Ограниченные (сверху, снизу) и неограниченные (сверху, снизу) множества. Наибольший (наименьший) элемент множества. Верхняя (нижняя) грань множества. Теорема о существовании верхней (нижней) грани. Понятие окрестности действительного числа (точки) и окрестности с выколотым центром. Понятие предельной точки точечного множества на числовой прямой. Внутренние и граничные точки. Открытые и замкнутые множества. Отображения Понятие отображения (функции), его области определения и области значений. Обратное отображение. Композиция отображений. Инъективное, сюръективное и биективное отображения.
  • Метрические пространства. Предел
    Метрики в множестве. Евклидово пространство. Множества в метрическом пространстве. Предел последовательности в метрическом пространстве. Предел числовой последовательности. Единственность предела последовательности. Сходящаяся последовательность. Предельный переход в неравенстве. Сжатые последовательности. Векторные пространства над R. Норма в векторном пространстве. Топологические понятия в R^m. Арифметические действия над сходящимися последовательностями в нормированном пространстве. Скалярное произведение. Неравенство Коши-Буняковского и неравенство треугольника. Существование предела у ограниченной монотонной последовательности. Лемма о вложенных отрезках. Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса о выделении сходящейся подпоследовательности. Бесконечно большие и бесконечно малые. Топология на числовой прямой. Понятие окрестности действительного числа (точки) и окрестности с выколотым центром. Понятие предельной точки точечного множества на числовой прямой. Внутренние, внешние, граничные точки. Открытые и замкнутые множества. Компакт. Определения предела отображения. Основные свойства передела отображения. Арифметические действия над отображениями, имеющими предел. Предел функции одной переменной. Односторонние и двусторонние пределы. Бесконечно малые (бесконечно большие) величины и их связь с пределами функций. Функции одной переменной, не имеющие предела в точке и на бесконечности. Свойства операции предельного перехода. Предельный переход в сложной функции. Первый и второй замечательные пределы. Символы о-малое и О-большое и их использование для раскрытия неопределенностей. Двойные (повторные) пределы.
  • Введение в дифференциальное исчисление
    Линейные операторы в евклидовых пространствах. Норма линейного оператора. Дифференцируемое отображение. Матрица Якоби. Правила дифференцирования. Функция одной переменной: Производная функции одной переменной. Геометрический смысл производной. Экономический смысл производной. Уравнение касательной. Функция нескольких переменных: Дифференцируемость и частные производные. Производная по направлению. Градиент. Геометрический смысл производной. Экономический смысл производной. Уравнение касательной. Функция одной переменной: Понятие дифференцируемой функции. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости. Связь непрерывности и дифференцируемости функции одной переменной. Производная суммы, произведения, частного, сложной и обратной функции. Производные основных элементарных функций. Производные высших порядков функции одной переменной. Частные производные высших порядков. Дифференцирование функций, заданных параметрически, и неявных функций. Логарифмическое дифференцирование. Степенно-показательная функция. Дифференциал.
  • Непрерывность
    Непрерывные отображения. Непрерывность функции в точке и на множестве. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва и их классификация. Асимтоты. Арифметические операции над непрерывными функциями. Непрерывность основных элементарных функций. Непрерывность сложной функции.
  • Дифференциальное исчисление функции одной и многих переменных
    ФОП: Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя. Локальный экстремум. Необходимое условие локального экстремума. Достаточное условие локального экстремума. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. Локальный экстремум (продолжение). Выпуклость/вогнутость. Точки перегиба. Формула Тейлора. ФМП: Локальный экстремум. Необходимое условие локального экстремума. Достаточное условие локального экстремума. Условный экстремум. Экстремум неявной функции. Глобальный экстремум.
  • Интегрирование: первообразная, неопределенный интеграл
    Первообразная и неопределенный интеграл. Первая основная теорема интегрального исчисления (о существовании первообразной у непрерывной функции). Свойства неопределенного интеграла. Интегралы от основных элементарных функций. Табличные интегралы. Основные методы интегрирования (простейшие приемы интегрирования, замена переменной, интегрирование по частям). Интегрирование некоторых элементарных функций.
  • Интегрирование: определенный интеграл и его приложения
    Интегральная сумма Римана, определенный интеграл и его геометрическая интерпретация. Интегральные суммы Дарбу. Свойства определенного интеграла (связанные с подынтегральной функцией, с отрезком интегрирования). Теорема о среднем значении. Определенный интеграл с переменным верхним пределом и его производная по этому пределу. Формула Ньютона-Лейбница. Вторая основная теорема интегрального исчисления (о существовании определенного интеграла у непрерывной функции). Интегрируемые по Риману функции. Замена переменной и формула интегрирования по частям для определенного интеграла
  • Интегрирование: несобственные интегралы.
    Несобственные интегралы. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов. Признаки сходимости.
  • Кратные интегралы. Двойной интеграл
    Понятие двойного интеграла и его геометрическая интерпретация. Свойства двойного интеграла. Сведение двойного интеграла к повторному. Замена переменной в двойном интеграле. Вычисление площади криволинейной фигуры с помощью двойного интеграла.
  • Числовые и функциональные ряды
    Понятие о числовых рядах. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Необходимое условие сходимости ряда. Признаки сходимости для знакопостоянных и знакочередующихся рядов. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов. Функциональные ряды. Сходимость и равномерная сходимость функционального ряда. Почленное дифференцирование и интегрирование функциональных рядов.
  • Числовые и функциональные ряды
    Степенные ряды. Промежуток и радиус сходимости степенного ряда. Формула для вычисления радиуса сходимости. Понятие ряда Тейлора. Понятие о рядах Фурье. Теорема о представлении функции в виде ее ряда Фурье.
  • Дифференциальные уравнения
    Основные понятия теории дифференциальных уравнений: дифференциальное уравнение (ДУ), порядок, решение, интегральная кривая. ДУ первого порядка. Задача Коши. Теорема суще-ствования и единственности (формулировка). Общее и частное решение. ДУ первого порядка, интегрируемые в квадратурах. Уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к ним. ДУ первого порядка: однородное, приводящиеся к однородному, линейное, уравнение Бер-нулли, в полных дифференциалах. ДУ высших порядков. Задача Коши. ДУ высших порядков, допускающие понижение поряд-ка. Линейные однородные и неоднородные уравнения 2-го порядка. Линейно зависимые и неза-висимые решения. Определитель Вронского для решений линейного однородного уравнения. Фун-даментальная система решений. Структура общего решения линейного однородного уравнения 2-го порядка. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера решения уравнений. Структура общего решения линейного неоднородного уравнения 2-го порядка. Инте-грирование линейных неоднородных ДУ методом вариации произвольных постоянных. Нахождение частных решений неоднородных уравнений с правыми частями специального вида.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Домашняя работа 1
  • неблокирующий Контрольная работа 1
  • неблокирующий Домашняя работа 2
  • неблокирующий Контрольная работа 2
  • неблокирующий Коллоквиум
  • неблокирующий Самостоятельная работа 1
  • неблокирующий Экзамен (1 семестр)
  • неблокирующий Домашняя работа 3
  • неблокирующий Контрольная работа 3
  • неблокирующий Домашняя работа 4
  • неблокирующий Контрольная работа 4
  • неблокирующий Самостоятельная работа 2
  • неблокирующий Экзамен
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (2 модуль)
    0.09 * Домашняя работа 1 + 0.09 * Домашняя работа 2 + 0.12 * Коллоквиум + 0.12 * Контрольная работа 1 + 0.12 * Контрольная работа 2 + 0.06 * Самостоятельная работа 1 + 0.4 * Экзамен (1 семестр)
  • Промежуточная аттестация (4 модуль)
    0.06 * Домашняя работа 3 + 0.06 * Домашняя работа 4 + 0.075 * Контрольная работа 3 + 0.075 * Контрольная работа 4 + 0.3 * Промежуточная аттестация (2 модуль) + 0.03 * Самостоятельная работа 2 + 0.4 * Экзамен
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х.-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Ч. 1 4-е изд., пер. и доп. Учебник для бакалавров-М.:Издательство Юрайт,2016-660-Бакалавр. Академический курс-978-5-9916-2733-7: -Текст электронный // ЭБС Юрайт - https://biblio-online.ru/book/matematicheskiy-analiz-ch-1-389342
  • Кудрявцев Л.Д.-КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА В 3 Т. ТОМ 2 В 2 КНИГАХ 6-е изд., пер. и доп. Учебник для бакалавров-М.:Издательство Юрайт,2016-720-Бакалавр. Академический курс-978-5-9916-6126-3, 978-5-9916-2293-6, 978-5-9916-6127-0, 978-5-9916-6128-7: -Текст электронный // ЭБС Юрайт - https://biblio-online.ru/book/kurs-matematicheskogo-analiza-v-3-t-tom-2-v-2-knigah-387530

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Путко Б.А., Тришин И.М., Кремер Н.Ш. - под ред.-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ В 2 Т. Учебник и практикум для академического бакалавриата-М.:Издательство Юрайт,2016-634-Бакалавр. Академический курс-978-5-9916-6238-3, 978-5-9916-6298-7, 978-5-9916-6300-7: -Текст электронный // ЭБС Юрайт - https://biblio-online.ru/book/matematicheskiy-analiz-v-2-t-388079
  • Шипачев В.С.-ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. ПОЛНЫЙ КУРС 4-е изд., испр. и доп. Учебник для академического бакалавриата-М.:Издательство Юрайт,2016-607-Бакалавр. Академический курс-978-5-9916-4358-0: -Текст электронный // ЭБС Юрайт - https://biblio-online.ru/book/vysshaya-matematika-polnyy-kurs-388659