2016/2017
Квантовая механика
Статус:
Дисциплина общефакультетского пула
Кто читает:
Факультет математики
Где читается:
Факультет математики
Когда читается:
3, 4 модуль
Язык:
русский
Кредиты:
5
Контактные часы:
76
Программа дисциплины
Аннотация
Настоящая дисциплина относится к циклу общие профессиональные дисциплины и блоку основных дисциплин, обеспечивающих подготовку бакалавра. Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах: • базовые курсы алгебры и математического анализа (1 и 2 годы бакалавриата); • курс динамических систем (2 год бакалавриата); • курс гамильтоновых и интегрируемых систем (I-II модули, 3 год бакалавриата); • курс уравнений в частных производных (III-IV модули, 3 год бакалавриата); Желательно, но не необходимо также знакомство с некоторыми основными понятиями и результатами из курсов • теории функций комплексного переменного (III-IV модули, 2 год бакалавриата); • теории вероятностей (3 год бакалавриата); • функционального анализа (3 год бакалавриата); • групп и алгебр Ли (III-IV модули, 3 год бакалавриата). Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при обучении магистрантов (в первую очередь, по направлению “Математическая физика”) при изучении следующих дисциплин: • Дополнительные главы математической физики (1 и 2 курс магистратуры); Спецкурс по теории представлений алгебры Вирасоро и конформной теории поля
Цель освоения дисциплины
- Получение представления о взаимоотношении механик классической и квантовой.
- Получение представлений об основных принципах, структурах, и задачах квантовой механики.
- Получение сведений об важнейших физических квантово-механических моделях.
- Получение представления о современных математических структурах методах исследования квантово-механических систем.
- Развитие квантово-механической интуиции, то есть навыков формулировки задач, построения и исследования теоретико-физических моделей квантовой механики.
Планируемые результаты обучения
- Имеет представление о физических основаниях квантовой механики, понимает взаимоотношения квантовой механики с классическими механикой и теорией поля.
- Понимает статистический смысл основных операций и объектов пространства состояний: скалярных произведений, спектра наблюдаемых и т.п. Умеет находить распределения вероятностей измерений различных наблюдаемых в простых моделях и рассчитывать эволюцию состояния.
- Умеет строить пространство состояний гармонического осциллятора, находить его спектр и собственные вектора.
- Умеет строить обобщенные собственные векторы, отвечающие непрерывному спектру операторов координаты и импульса, вычислять плотность амплитуды вероятности распределения координаты и значений импульса в чистых состояниях квантовой системы. Умеет находить спектр связанных состояний в одномерной потенциальной яме.
- Умеет находить вероятности перехода из заданного начального состояния системы в конечное в процессе измерения полного набора наблюдаемых.
- Владеет математическим аппаратом квантовой механики, включая базовые понятия и технику теории обобщенных функций, гильбертовых пространств, спектральной теории операторов, дифференциальных уравнений в частных производных. Умеет строить собственные функции гамильтониана атома водорода в сферических координатах.
- Умеет строить конечномерные унитарные представления алгебры Ли su(2), находить спектр оператора квадрата углового момента и компонент углового момента.
- Владеет математическим аппаратом квантовой механики, включая базовые понятия и технику теории обобщенных функций, гильбертовых пространств, спектральной теории операторов, дифференциальных уравнений в частных производных, теории возмущений, теории представлений и функционального интегрирования.
- Умеет решать задачи о вычислении, точном и в низших порядках по теории возмущений, физических характеристик (спектра, средних значений и дисперсий наблюдаемых) и о расчете эволюции для базовых моделей нерелятивистской квантовой механики (гармонический осциллятор, одномерные квантовые системы, атом водорода, теория момента и спина и др.).
- Умеет строить представления симметрической группы, отвечающие различным диаграммам Юнга, находит состояния системы тождественных частиц с заданными свойствами.
- Владеет навыками самостоятельного квантования простых моделей нерелятивистской классической механики.
Содержание учебной дисциплины
- Недостаточность классического описания явлений микромираОбзор основных физических фактов и экспериментов, показавших неприменимость законов классической физики к явлениям микромира: спектр излучения черного тела, фотоэффект, рассеяние света электронами, прохождение электронов через экран с двумя щелями, планетарная модель атома Резерфорда, линейчатый спектр излучения водорода.
- Основные постулаты канонического (операторного) квантования.Приводится список основных постулатов квантования механической системы, заданной в гамильтоновм формализме. Канонические скобки Пуассона, алгебра наблюдаемых, различные представления алгебры в гильбертовом пространстве состояний, статистическая интерпретация, динамический принцип в подходе Шредингера и Гейзенберга.
- Квантование гармонического осциллятораПостроение квантовой теории одномерного гармонического осциллятора в пространстве Фока и координатном представлении в пространстве квадратично интегрируемых функций L_2(R). Спектр, операторы рождения и уничтожения, полиномы Эрмита, когерентные состояния.
- Оснащенное гильбертово пространство, свободная частица, общие свойства одномерного движения.Разбирается вопрос о непрерывном спектре неограниченных операторов, теория линейных непрерывных функционалов на пространствах Шварца и финитных функций. Вводятся обобщенные собственные вектора операторов координаты и импульса. Свободная частица. Одномерное движение: частица в потенциальной яме, отражение от барьера, прохождение через барьер (туннельный эффект).
- Полный набор наблюдаемых и проблема измеренияВводится понятие полного набора коммутирующих наблюдаемых, одновременное измерение которых фиксирует чистое состояние системы. Количество наблюдаемых в полном наборе --- квантовый аналог числа степеней свободы. Изменение состояния системы при измерении -- редукция волнового пакета. Смешанные состояния и матрица плотности.
- Трехмерное движение в центральном полеЧастица в центральном поле. Момент импульса. Квантовая модель атома водорода: спектр, собственные состояния. Сферические функции и полиномы Лаггера.
- Общая теория углового моментаАлгебра углового момента --- алгебра su(2). Конечномерные представления с целым и полуцелым значением углового момента. Спин элементарных частиц.
- Симметрии квантовых систем и законы сохраненияГруппа симметрий квантовой системы и ее представления в пространстве состояний. Собственные вектора гамильтониана и учет симметрий: вырождение спектра.
- Квантование момента импульса. Спин электрона.
- Трехмерные модели квантовой механики. Движение в центрально-симметричном потенциале. Атом водорода.
- Стационарная теория возмущений. Эффекты Штарка и Зеемана.
- Квантовая теория тождественных частиц.Симметрическая группа и квантовая теория тождественных частиц. Статистики Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака. Связь спина со статистикой, принцип запрета Паули. Строение атомных оболочек и таблица Менделеева.
- Релятивистская квантовая механика, уравнения Клейна-Гордона и Дирака. Позитрон.
- Квантовая механика в формализме функционального интегрирования.
- Интегрируемые модели квантовой механики.Понятие об интегрируемости квантовой системы на примере спиновой цепочки Гейзенберга. Алгебраический анзац Бете.
Элементы контроля
- Самостоятельная работа студентов
- Контрольная работа
- Решение задач из домашних заданий
- Коллоквиум
- Экзамен
Промежуточная аттестация
- Промежуточная аттестация (4 модуль)Накопленная оценка рассчитывается по формуле Онакоп = 0.5*Отекущий + 0.5*Осам.работа , где Отекущий и Осам.работа --- оценки текущего контроля и самостоятельной работы студента. Здесь оценка текущего контроля Отекущий рассчитывается как взвешенная сумма трех форм текущего контроля Отекущий = 0.3* Од/з + 0.2* Ок/р + 0.5* Окол, Результирующая итоговая оценка за дисциплину учитывает также оценку за экзамен Оитог.контроль, выставляемую по 10-бальной шкале, и определяется по формуле Орезультирующая итог = 0,4*Онакопленная + 0,6*Оитог.контроль
Список литературы
Рекомендуемая основная литература
- Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика. Т.2. Теория поля - Издательство "Физматлит" - 2006 - 536с. - ISBN: 5-9221-0056-4 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/2236
Рекомендуемая дополнительная литература
- Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика Т.3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) - Издательство "Физматлит" - 2001 - 808с. - ISBN: 5-9221-0057-2 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/2380