• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
Бакалавриат 2017/2018

Введение в топологию (Гладкие многообразия)

Статус: Курс обязательный (Математика)
Направление: 01.03.01. Математика
Когда читается: 2-й курс, 1-3 модуль
Формат изучения: Full time
Язык: русский
Кредиты: 7

Программа дисциплины

Аннотация

Дисциплина “Гладкие многообразия” посвящена аналитическим и геометрическим аспектом теории гладких многообразий. В результате прохождения курса студенты должны владеть понятиями, изучаемыми в курсе, а также применять их для выполнения операций анализа функций, заданных на многообразии.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Освоение аналитических и геометрических аспектов теории гладких многообразий.
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • Знакомство с определениями и базовыми свойствами кривых и поверхностей в R^n. Знакомство с формулами Френе в R^2 и R^3. Знакомство с теорема о неявной функции. Знакомство с определением касательного пространство к поверхности в R^n.
  • Знакомство с определением многообразий с помощью атласов, подмногообразий и морфизмов многообразий.
  • Знакомство с тремя определениями касательного вектора. Знакомство с определением дифференциала отображения, векторных полей, касательного расслоения, коммутаторов векторных полей.
  • Знакомство с определением и базовыми свойствами дифференциальных форм в R^n и на поверхностях в R^n. Знакомство с конструкцией разбиения единицы.
  • Знакомство с определением и базовыми свойствами дифференциальных форм на многообразиях. Знакомство с интегрированием дифференциальных форм.
  • Знакомство с определением многообразий с краем. Знакомство с формулой Стокса и ее следствиями.
  • Знакомство с определением и основными свойствами когомологий де Рама и доказательством их гомотопической инвариантности. Знакомство с леммой Пуанкаре и ее доказательством.
  • Знакомство с определением и свойствами производной Ли и дифференциальных идеалов.
  • Знакомство с понятием распределений и формулировкой теоремы Фробениуса.
  • Знакомство с определением и свойствами римановой метрики. Знакомство с римановой связностью на поверхности в R^3.
  • Знакомство с ковариантным дифференцированием в общем случае и символами Кристоффеля.
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Кривые и поверхности в R^n
    Кривые и поверхности в R^n. Формулы Френе в R^2 и R^3. Теорема о неявной функции (напоминание). Касательное пространство к поверхности в R^n.
  • Определение многообразия
    Задание многообразий с помощью атласов. Подмногообразия. Морфизмы многообразий.
  • Касательные пространства и векторные поля
    Три определения касательного вектора. Дифференциал отображения. Векторные поля. Понятие касательного расслоения. Коммутаторы векторных полей.
  • Дифференциальные формы на R^n
    Элементы линейной алгебры. Дифференциальные формы в R^n и на поверхности в R^n. Разбиение единицы.
  • Дифференциальные формы на многообразиях
    Дифференциальные формы на многообразиях. Интегрирование дифференциальных форм.
  • Формула Стокса
    Многообразия с краем. Формула Стокса. Следствия.
  • Когомологии де Рама
    Когомологии де Рама и их гомотопическая инвариантность. Лемма Пуанкаре.
  • Производная Ли
    Производная Ли. Дифференциальные идеалы.
  • Теорема Фробениуса
    Распределения. Теорема Фробениуса (формулировка)
  • Римановы многообразия
    Риманова метрика. Риманова связность на поверхности в R^3.
  • Связности в векторных расслоениях
    Ковариантное дифференцирование в общем случае, символы Кристоффеля.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • блокирующий Устный экзамен
  • неблокирующий Сдача листков
  • неблокирующий Контрольные работы
  • неблокирующий Коллоквиумы
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (3 модуль)
    Итоговая оценка по дисциплине определяется по накопленной оценке (вес 80%) и блокирующей оценке за экзамен (вес 20%). При этом студент, имеющий накопленную оценку 7,5 и выше, освобождается от экзамена и получает итоговую оценку, равную накопленной. Накопленная оценка является взвешенной суммой следующих компонентов: два коллоквиума (первый в сессию первого модуля, второй в январе—феврале) — общий вес 35%; контрольные работы (как минимум по одной в конце каждого модуля) — общий вес 25%; сдача листков — вес 40 %.
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Математический анализ. Т. 1: ., Зорич В. А., 2015
  • Математический анализ. Т. 2: ., Зорич В. А., 2015

Рекомендуемая дополнительная литература

  • - Новиков С.П., Тайманов И.А. — Современные геометрические структуры и поля - Московский центр непрерывного математического образования - 2005 - ISBN: 978-5-94057-102-6 - Текст электронный // ЭБС Лань - URL: https://e.lanbook.com/book/9379