• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
Бакалавриат 2017/2018

Геометрия

Язык: русский
Кредиты: 8

Программа дисциплины

Аннотация

Курс посвящён основным понятиям алгебры и геометрии, такими как кольца, поля, группы преобразований, векторные пространства, линейные операторы. Курс является необходимым пререквизитом ко всем математическим курсам второго семестра и выше.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Целями изучения данной дисциплины являются формирование у студентов структурно-алгебраического мышления
  • Освоение фундаментальных понятий и простейших вычислительных методов современной алгебры
  • Получение представления об основных структурах, объектах и задачах классической геометрии
  • Развитие соответствующей геометрической интуиции
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • Владение основными понятиями абстрактной алгебры
  • Развитие геометрической интуиции
  • Владение основными понятиями линейной алгебры
  • Навыки решения задач линейной алгебры
  • Владение основными методами абстрактной алгебры
  • Умение вычислять объёмы и определители
  • Знакомство с геометрическими аспектами групп преобразовний
  • Умение вычислять сигнатуру квадратичной формы
  • Умение находить собственные векторы и собственные значения линейного оператора
  • Владение основами проективной геометрии
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Делимость в кольцах
    Определения: деление в кольцах, деление с остатком, НОД, неприводимые и простые элементы. Примеры: деление с остатком в кольцах целых, гауссовых целых, многочленов, формальных степенных рядов, кольцо Z[\sqrt5].
  • Евклидова геометрия (напоминание)
    Определения: евклидова плоскость, евклидово пространство, векторы, скалярное и векторное произведение, длина, угол, площадь, объём. Примеры: школьная планиметрия и стереометрия.
  • Кольца и поля.
    Определения: кольцо, поле, матрица, умножение матриц. Примеры: целые числа, числовые поля, комплексные числа, поле из двух элементов, кольцо 2x2 матриц, линейные отображения плоскости, кольцо многочленов над полем. Комплексные числа как преобразования плоскости. Основная теорема алгебры.
  • Группы преобразований
    Определения: группы перестановок, знак перестановки, группы движений плоскости и пространства, группы линейных преобразований. Примеры: группы движений правильных многоугольников и многогранников, полная линейная группа. Действие группы на множестве. Разложение перестановки в произведение непересекающихся циклов.
  • Векторные пространства
    Определения: векторные пространства над полем, подпространства, векторы, линейные комбинации векторов, линейная зависимость. Примеры: координатное пространство, кольцо многочленов над полем, расширение поля, пространства над полем из двух элементов.
  • Линейные операторы и матрицы
    Определения: линейные операторы, матрица линейного оператора. Примеры: линейные отображения плоскости, умножение на многочлен и дифференцирование, умножение на элемент расширения полей. Матрица композиции двух линейных отображений с известными матрицами.
  • Размерность и базисы
    Определения: порождающий набор, базис, размерность. Приведение матрицы к ступечатому виду элементарными преобразованиями строк. Классификация конечномерных векторных пространств. Замена координат.
  • Подпространства и уравнения
    Определения: подпространства, их сумма и пересечение, ядро, образ и ранг линейного оператора. Соотношение между рангом оператора и размерностью его ядра. Решение систем линейных уравнений.
  • Квадратичные формы в евклидовых пространствах
    Определения: квадратичные формы, аффинные квадрики, самосопряжённый оператор, связанный с квадратичной формой в евклидовом пространстве, сигнатура квадратичной формы, положительный и отрицательный индексы инерции. Примеры: коники - эллипсы, параболы, гиперболы. Матрица квадратичной формы и матрица соответствующего ей самосопряжённого оператора совпадают в ортонормированном базисе. Квадратичная форма в евклидовом пространстве приводится к главным осям. Критерий Сильвестра положительной и отрицательной определённости квадратичной формы. Приложения в анализе (экстремумы функции нескольких переменных). Приложения самосопряжённых операторов в физике (бра и кет формализм).
  • Проективные квадрики
    Определения: квадрики, коники, проективная двойственность, полярная двойственность относительно коники, полюс и поляра. Примеры: полярное преобразование плоскости относительно окружности, задача Штейнера о пяти кониках. Теоремы Паскаля и Брианшона как двойственные утверждения.
  • Алгоритм Евклида для целых чисел
    Определения: деление с остатком в кольце целых чисел, НОД, простые числа. Алгоритм Евклида. Доказательство Евклида бесконечности множества простых чисел. Решето Эратосфена. Основная теорема арифметики. Доказательство иррациональности корня из двух. Решение линейных диофантовых уравнений.
  • Алгоритм Евклида для многочленов
    Определения: деление с остатком в кольце многочленов над полем, НОД, неприводимые многочлены. Алгоритм Евклида. Решето Эратосфена для многочленов. Теорема Безу. Избавление от иррациональности в знаменателе.
  • Аффинные пространства
    Определения: аффинные пространства и подпространства, репер. Примеры: пространство решений неоднородной системы линейных уравнений. Связь понятия репера и понятия базиса. Уравнение гиперплоскости, проходящей через данные точки.
  • Евклидовы пространства
    Билинейные формы, скалярное произведение, длины, углы, расстояния, ортогональное дополнение к подпространству, ортогональный и ортонормированный базисы. Примеры: школьная плоскость, физическое пространство. Теорема Пифагора. Неравенство треугольника. Расстояние от точки до подпространства, угол между вектором и подпространством.
  • Объёмы и определители
    Определения: равносоставленность, ориентированный объём параллелепипеда, определитель квадратной матрицы. Примеры: площадь параллелограмма, явные формулы для определителей порядка 1, 2 и 3. Определитель как объем. Формула разложения определителя по строке.
  • Проективные преобразования
    Определения: проективные преобразования, дробно-линейные преобразование, двойное отношение, полный четырёхсторонник. Примеры: дробно-линейные преобразования прямой, инварианты четвёрки прямых на векторной плоскости. Проективное преобразование n-мерного проективного пространства определяется образами n+2 точек, никакие n+1 из которых не лежат в одной гиперплоскости. Теорема Мёбиуса-фон Штаудта (без доказательства).
  • Проективные пространства
    Определения: проективизация векторного пространства, проективные пространства и подпространства, однородные координаты, аффинные карты, аксиомы абстрактной проективной плоскости. Примеры: законы перспективы, вещественная и комплексная проективная прямая, проективная плоскость, игра Доббль. Две различные прямые на проективной плоскости всегда пересекаются в одной точке. Теорема Паппа.
  • Жорданова нормальная форма
    Определения: спектр оператора, инвариантные подпространства, прямая сумма подпространств, жорданова клетка, минимальный многочлен оператора, собственные и корневые подпространства. Явные формулы для рекуррентных последовательностей. Комплексное пространство с оператором раскладывается в прямую сумму корневых подпространств. Жорданова нормальная форма нильпотентного оператора.
  • Многочлены от операторов
    Определения: диагонализуемые операторы, след оператора, сопряжённые (подобные) матрицы. Матрицы оператора в разных базисах сопряжены. Почти любой оператор над полем комплексных чисел диагонализуем. Теорема Гамильтона-Кэли. Вычисление степени оператора с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа.
  • Диагонализация оператора
    Определения: собственные векторы, собственные значения и характеристический многочлен оператора. Связь с физическими задачами и линейными дифференциальными уравнениями. Собственные векторы с попарно различными собственными значениями линейно независимы.
  • Билинейные и квадратичные формы
    Определения: квадратичная форма, поляризация, матрица Грама билинейной формы. Примеры: матрица Грама стандартного скалярного произведения. Метод Лагранжа. Ортогонализация Грама-Шмидта для положительно определённой симметричной билинейной формы. Квадрат объёма параллелепипеда как определитель матрицы Грама. Неравенство Коши-Буняковского-Шварца. Формула для расстояния от вектора до подпространства через матрицы Грама. Разложение вектора по ортонормальному базису. Метод наименьших квадратов.
  • Построения циркулем и линейкой
    Определения: построение циркулем и линейкой, построимые комплексные числа, расширения полей, поликвадратичные расширения, степень расширения. Примеры: классические задачи древности, построение правильного пятиугольника. Степень башни расширений полей. Доказательство неразрешимости задач об удвоении куба и трисекции угла.
  • Изометрии евклидова пространства
    Определения: изометрии (движения) евклидова пространства, группы GL_n(R) (полная линейная), SL_n(R) (специальная линейная), O_n(R) (ортогональная), SO_n(R) (специальная ортогональная). Примеры: группа O_2(R), группа поворотов плоскости SO_2(R), группа поворотов трёхмерного пространства SO_3(R). Изометрия является линейным преобразованием. Классификация движений плоскости.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Домашние задания (ДЗ)
  • неблокирующий Контрольная работа (К)
  • неблокирующий Коллоквиум (Кл)
  • неблокирующий Экзамен 1 семестр
  • неблокирующий Экзамен 2 семестр
  • неблокирующий Листки (Л)
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (2 модуль)
    40% ДЗ + 20% К + 30% Э + 10% Л
  • Промежуточная аттестация (4 модуль)
    30% ДЗ + 30% Кл + 30% Э + 10% Л
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Курс алгебры, Винберг Э. Б., 2002

Рекомендуемая дополнительная литература

  • - Шафаревич И.Р., Ремизов А.О. — Линейная алгебра и геометрия - Издательство "Физматлит" - 2009 - ISBN: 978-5-9221-1139-3 - Текст электронный // ЭБС Лань - URL: https://e.lanbook.com/book/2306