Методы оптимальных решений

Бакалавриат 2017/2018

Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»

Статус: Курс по выбору (Экономика)

Направление: 38.03.01. Экономика

Кто читает: Кафедра высшей математики

Где читается: Факультет экономики, менеджмента и бизнес-информатики

Когда читается: 2-й курс, 3, 4 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Морозова Алена Витальевна

Язык: русский

Кредиты: 5

Контактные часы: 70

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

В результате освоения дисциплины "Методы оптимальных решений" студент должен знать основные типы математических моделей, используемых при описании сложных систем и при принятии решений, знать сложившуюся к настоящему времени типизацию и классификацию таких моделей, систем, задач, методов; уметь квалифицированно применять изученные методы при решении прикладных задач экономического содержания;иметь представление о достаточно полном спектре концепций, подходов, методов современной теории принятия оптимальных решений;приобрести опыт решения задач линейного, целочисленного и динамического программирования, задач теории оптимального управления и массового обслуживания.

Цель освоения дисциплины

формирование навыков работы с абстрактными понятиями высшей математики
знакомство с прикладными задачами дисциплины
формирование умения решать типовые задачи дисциплины

Планируемые результаты обучения

Осуществляет математическую постановку задач оптимизации при исследовании экономических процессов
Решает прямую и двойственную задачи линейного программирования, открытую и закрытую транспортные задачи
Решает экономические задачи методами целочисленного программирования
Решает задачи оптимизации аналитическими и численными методами
Осуществляет математическую постановку и решение задач многокритериальной оптимизации
Решает экономические задачи методами динамического программирования

Содержание учебной дисциплины

Введение. Математические модели и оптимизация в экономике
Понятие модели. Метод моделирования, виды. Этапы принятия решений. Математические модели в экономике. Примеры: модели поведения потребителя и планирования производства в фирме. Пример использования оптимизации для идентификации параметров математической модели. Использование математических моделей для описания поведения экономических агентов. Принятие экономических решений. Теория оптимизации и методы выбора экономических решений. Задача об объемах производств (межотраслевая модель). Основные представления о задаче оптимизации. Инструментальные переменные и параметры математической модели. Допустимое множество. Критерий выбора решения и целевая функция. Линии уровня целевой функции.
Задачи линейного программирования
Постановка и формы записи задачи линейного программирования (ЛП). Примеры задач линейного программирования в экономике: задача о планировании объемов производства, задача о диете, задача о раскрое. Геометрическая интерпретация задачи ЛП и ее графическое решение. Симплекс-метод: схема метода и его обоснование. Допустимый базис в задаче ЛП. Экономическая интерпретация симплекс-таблицы. Метод искусственного базиса. Двойственная задача линейного программирования. Основное неравенство теории двойственности. Теорема о существовании прямого и двойственного решений, теорема о дополняющей нежесткости. Третья теорема теории двойственности (об оценках). Область малого изменения количества ресурсов. Экономическая интерпретация двойственной задачи. Применение третьей теоремы теории двойственности. Двойственные оценки как внутренние цены: задача о максимизации прибыли от производства и продажи ресурсов. Общая постановка транспортной задачи (ТЗ). Открытая и закрытая ТЗ. Поиск допустимого решения: метод северо-западного угла, метод наименьшей стоимости, метод Фогеля: алгоритмы методов. Допустимое решение в вырожденном случае. Проверка оптимальности допустимого решения с помощью метода потенциалов. Улучшение неоптимального плана перевозок. Особенности ТЗ с несколькими оптимальными планами перевозок.
Задачи целочисленного программирования
Задача целочисленного линейного программирования. Постановка задачи, примеры задач ЦЛП в экономике. Идея отсечений. Метод Гомори: алгоритм метода и его обоснование. Задача о назначениях. Решение с помощью Венгерского метода. Задача коммивояжера. Метод ветвей и границ. Применение для решения задачи ЦЛП. Задача коммивояжера.
Задачи нелинейного программирования
Общая постановка нелинейной задачи оптимизации. Классическая задача оптимизации. Задача оптимизации с переменными, ограниченными в знаке, и с ограничениями-неравенствами. Метод множителей Лагранжа для решения КЗО. Модификация метода Лагранжа для решения задачи с неравенствами и с переменными, ограниченными в знаке. Смысл и знак множителей Лагранжа. Седловые точки функции Лагранжа. Идея метода Куна-Таккера, его алгоритм и обоснование. Задача выпуклого программирования. Решение задачи линейного программирования методом множителей Лагранжа. Численные методы оптимизации: градиентные методы, методы штрафных функций в задачах линейного и нелинейного программирования.
Задачи многокритериальной оптимизации
Происхождение и постановка задачи многокритериальной оптимизации. Оптимизация при наличии нескольких критериев. Множество достижимых критериальных векторов. Доминирование и оптимальность по Парето. Эффективные решения и паретова граница. Теорема Куна-Таккера в выпуклых задачах многокритериальной оптимизации. Основные типы методов решения задач многокритериальной оптимизации. Парето-оптимальные решения. Метод последовательных уступок.
Задачи динамического программирования
Динамическое программирование. Задача поиска кратчайшего пути на графе. Принцип оптимальности Р. Беллмана. Уравнение Беллмана. Задача о распределении ограниченного ресурса. Задача о замене оборудования. Задача о ранце. Задача коммивояжера. Решение задачи коммивояжера методом динамического программирования.

Элементы контроля

Контрольная работа
Самостоятельная работа
Экзамен

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (4 модуль)
0.4 * Контрольная работа + 0.2 * Самостоятельная работа + 0.4 * Экзамен

Программа дисциплины