• A
  • A
  • A
  • АБВ
  • АБВ
  • АБВ
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
ФакультетыУчебные курсы

Основания алгебры и геометрии

Учебный год: 2017/2018

Это первый курс майнора «Математические структуры».

Цель курса:

Освоить ключевые математические концепции, используемые в современной математике и её многочисленных приложениях. Отталкиваясь от знакомых всем понятий школьной математики, таких как число, прямая, функция, мы получим их далеко идущие обобщения, такие как кольца, поля, векторные пространства, группы преобразований, операторы. Слушатели также узнают о целях, задачах и методах математики, от теории множеств и до начал алгебры, геометрии и анализа.

В курсе будут обсуждаться следующие темы:
  1. Что такое число? Натуральные числа: аксиомы Пеано и метод математической индукции. Вещественные числа: сечения Дедекинда и цепные дроби. Комплексные числа, кватернионы, октавы, p-адические числа. Обобщения: кольца, поля, алгебры.
  2. Что такое планиметрия? Формальный метод Гильберта: системы аксиом евклидовой геометрии от Евклида до Гильберта и Колмогорова. Группы движений плоскости и пространства. Обобщения: аксиомы линейного пространства, линейные операторы, базисы, размерность, классические группы.
  3. Что такое множество? Множества, функции и отображения. Комбинаторика: принцип Дирихле и бином Ньютона. Бинарные отношения, отношения эквивалентности и порядка. Счетные множества, несчетные множества. Отель Гильберта, диагональный метод Кантора и парадоксы наивной теории множеств.
Другие курсы майнора:Краткое содержание лекций: второй модуль
  • 13 декабря- Чего больше: прямоугольников или четырёхугольников, натуральных чисел или чётных? Как исчислять неисчислимое: биекция, счётные множества, отель Гильберта,  теорема Кантора-Бернштейна. Как строить натуральные числа с помощью пустого множества, ординалы и кардиналы. Чего нельзя делать с множествами: парадокс брадобрея, ординарные и экстраординарные множества. Мощность множества, диагональный метод Кантора, континуум-гипотеза. Экзотические примеры: канторово множество, теорема Банаха-Тарского, аксиома выбора и пример неизмеримого множества на отрезке.
    Материалы к лекции:  [1] Н.Я. Виленкин. Рассказы о множествах, 4-е изд., М., МЦНМО, 2007; [2] А. К. Звонкин, Малыши и математика, М., МЦНМО, 2007; [3] Banach-Tarski paradox, видеоролик; [4] Hilbert hotel, видеоролик;
  • 6 декабря - Векторное пространство над полем: определение и примеры; модель плоскости Евклида-Гильберта, координатное векторное пространство, длина вектора ([1] п. 1.7-1.8; [2] гл. 1, §1, п.1). Размерность, линейные комбинации векторов, линейная зависимость ([1] п. 1.9; [2] гл. 1, §1, п.2-3).
    Материалы к лекции:  [1] В.А. Кириченко, Лекции по геометрии (записки курса майнора 2016 г.); [2] И.М.Гельфанд, Лекции по линейной алгебре, М.: Добросвет, МЦНМО, 1998
  • 29 ноября - Аксиомы Гильберта - продолжение: аксиома о параллельных, аксиома Архимеда и аксиома полноты ([1] гл. 1, §7-8; [2] п. 1.5-1.6). Теорема о пропорциональных отрезках ([3], стр. 26-29). Исчисление отрезков: коммутативность умножения и теорема Паппа ([1] гл. 3, §15).
    Материалы к лекции:  [1] Д. Гильберт. Основания геометрии, Л., «Сеятель», 1923; [2] В.А. Кириченко, Лекции по геометрии (записки курса майнора 2016 г.); [3] А. Шень. О «математической строгости» и школьном курсе математики, М.: МЦНМО, 2006
  • 22 ноября- Аксиомы Гильберта - продолжение: аксиомы порядка и аксиомы конгруэнтности ([1] гл. 1, §3-6; [2] п. 1.3-1.4). Зачем нужны аксиомы порядка или "доказательство", что все треугольники равнобедренные ([3], стр. 11-17).
    Материалы к лекции:  [1] Д. Гильберт. Основания геометрии, Л., «Сеятель», 1923; [2] В.А. Кириченко, Лекции по геометрии (записки курса майнора 2016 г.); [3] А. Шень. О «математической строгости» и школьном курсе математики, М.: МЦНМО, 2006
  • 15 ноября - Модель Пуанкаре геометрии Лобачевского и её физическая реализация ([1], гл. Волшебный мир Анри Пуанкаре). Аксиомы Гильберта евклидовой плоскости: аксиомы первой группы или аксиомы принадлежности ([2], гл. 1, §1-2, [3], п. 1.2).
    Материалы к лекции: [1] C.Г. Гиндикин. Рассказы о физиках и математиках. М., МЦНМО, 2006; [2] Д. Гильберт. Основания геометрии, Л., «Сеятель», 1923; [3] В.А. Кириченко, Лекции по геометрии (записки курса майнора 2016 г.)
  • 8 ноября - Построения циркулем и линейкой: что это такое, основные примеры ([1], гл. 3, §1, п.1-2). Построимые комплексные числа ([1], гл. 3, §2, п.1). Теорема Гаусса о том, какие правильные многоугольники можно построить циркулем и линейкой ([2], раздел "Дебют Гаусса").
    Материалы к лекции:[1] Р. Курант, Г. Роббинс, Что такое математика? М., МЦНМО, 2013; [2] C.Г. Гиндикин. Рассказы о физиках и математиках. М., МЦНМО, 2006
  • 1 ноября- Комплексные числа как преобразования плоскости (композиции поворотов и растяжений). Алгебраическая конструкция поля комплексных чисел ([1], гл. 2, §5, п.1). Вещественная и мнимая части, сопряжённое, модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа ([1], гл. 2, §5, п.2). Основная теорема алгебры ([1], гл. 2, §5, п.4; [2]).Обзор евклидовой, сферической и геометрии Лобачевского. Теорема Пифагора, пифагоровы тройки. Теоремы Паскаля и Брианшона ([1], гл. 4, §5, п.3-4). Постулаты Евклида, пятый постулат, история геометрии Лобачевского [3]. Правильный тетраэдр и технология Тетрапак [4].
    Материалы к лекции:[1] Р. Курант, Г. Роббинс, Что такое математика? М., МЦНМО, 2013; [2] А. Тоом, Дама с собачкой, Квант, N2 (1990), с. 10-16, 26; [3] В. Ф. Каган,  Лобачевский,М.-Л., изд-во АН СССР, 1948; [4] Е.Ю.Смирнов, В.А.Кириченко, Молочный пакет или пирамидка из прямоугольника, Квантик, №6 (2017), с. 14-15
первый модуль
  • 6 сентября - Обзор программы курса. Аксиомы Пеано натуральных чисел. Определение поля. Примеры: поля из двух и трёх элементов, задача о 16-ти картах.  Аксиомы проективной плоскости. Примеры: плоскость Фано, игра Доббль, задача Эйлера о 36-ти офицерах. Системы счисления. Примеры: двоичная система, системы счисления (и их следы в языке) с основанием 12 (дюжина, гросс, масса), 20 (soixante-dix, quatre-vingts, quatre-vingt-dix), 60 (секунды, минуты, градусы). Степень числа. Примеры: степени десяти и способы их называть (европейская vs китайская традиции)
  • 13 сентября- Принцип математической индукции. Полная индукция. Примеры: за дача 3- и 5-копеечных монетах, число 1111...11 (3^n единиц) делится на 3^n, квадрат 2^n\times 2^n без угловой клетки можно разрезать на трехклеточные уголки, вычисление сумм 1+2+...+n и 1+4+9+...+n^2. Возможные ошибки в доказательствах по индукции. Примеры: n=n+1, все лошади одной масти, любые n точек лежат на одной прямой. Доказательство иррациональности корня из двух.
  • 20 сентября - Кванторы и основные обозначения теории множеств. Ещё раз об аксиомах Пеано. Диагональный метод Кантора. Отношение эквивалентности и разбиение множеств. Распределительная контрольная.
  • 27 сентября- Бинарные отношения, рефлексивность, симметричность/антисимметричность, транзитивность.  Примеры: параллельные прямые; люди, живущие в одном доме; одинаковые остатки при делении на m). Фактормножество. Примеры: построение целых чисел из натуральных и рациональных чисел из целых.
  • 4 октября- Вопросы делимости в кольцах, простые элементы. Примеры: простые числа, неприводимые многочлены. Доказательство Евклида бесконечности множества простых чисел. Решето Эратосфена. Основная теорема арифметики. Теорема Дирихле о простых числах в арифметических прогрессиях. Дзета-функция Римана. Деление многочленов с остатком.
  • 11 октября- Вещественные числа как сечения Дедекинда. Рациональные приближения вещественных чисел. Алгоритм Евклида и цепные дроби. Примеры: приближения числа пи (Соломон, Архимед, Цзу Чунчжи), юлианский и григорианский календари. Больше о приложениях цепных дробей можно узнать в статье Цепные дроби вокруг нас  / А. Устинов // Квант. - 2010. - N 2. - С. 32-33. О методе Бюффона для вычисления числа пи можно прочитать на портале Элементы.

Нельзя изучить математику, не решая задачи. Каждую неделю на этой странице будет появляться новое домашнее задание. Если задачи не получаются - обязательно задавайте вопросы. Вопросы по задачам можно задавать всем преподавателям курса на семинарах и в их присутственные часы (см. расписание часов на личных страницах преподавателей), а также лектору по электронной почте vkiritch@hse.ru

ДЗ№1 срок сдачи 13 сентября

ДЗ№2 срок сдачи 20 сентября, Семинар 1

ДЗ№3 срок сдачи 27 сентября, Семинар 2

ДЗ№4 срок сдачи 18 октября, Семинар 3

ДЗ№5 срок сдачи 1 ноября, Семинар 4

Задачи контрольной будут очень похожи на некоторые из задач в этом списке

ДЗ№6 срок сдачи 15 ноября, Семинар 5

ДЗ№7 срок сдачи 22 ноября, Семинар 6

ДЗ№8 срок сдачи 6 декабря, Семинар 7

Семинар 8

Задачи для подготовки к экзамену

Если вы не понимаете, за что снизили оценку за домашнее задание, то можно задать вопрос учебному ассистенту, проверявшему работу (определить, кто проверял можно по инициалам на работе и в кондуите). Если после этого вы все равно не согласны с оценкой, то можно обратиться к лектору. За плагиат в любом виде ставится нулевая оценка за всю задачу, а при повторном плагиате - нулевая оценка за всё ДЗ. Плагиатом считается любое переписывание текста (из книги, чужой работы, Интернета и т.п.), автором которого вы не являетесь. Можно и нужно обсуждать задачи с другими студентами и преподавателями, читать книги и статьи, но записывать решения нужно всегда только своими словами. Предоставление своего текста другому студенту для плагиата также считается плагиатом.

Записки лекций:Литература:
  1. В.И. Арнольд, Гюйгенс и Барроу, Ньютон и Гук первые шаги математического анализа и теории катастроф,от эвольвент до квазикристаллов. М., Наука, 1989
  2. Д. Гильберт, С. Кон-Фоссен, Наглядная геометрия. М.-Л., ОНТИ, 1936
  3. Г. Гиндикин. Рассказы о физиках и математиках. М., МЦНМО, 2006
  4. А.А. Кириллов. Что такое число? М., Физматлит, 1993
  5. Р. Курант, Г. Роббинс Что такое математика? М., МЦНМО, 2013
  6. А. Шень. О «математической строгости» и школьном курсе математики, М.: МЦНМО, 2006.
Дополнительное чтение

С.В.Фомин. Системы счисления, 5-е изд., М., Наука, 1987

И.В. Арнольд. Теоретическая арифметика, М., Учпедгиз, 1938

А. Шень. Математическая индукция, 3-е изд., М., МЦНМО, 2007

Г.Е. Шилов. Простая гамма (устройство музыкальной шкалы), Физматгиз, 1963

Д. Гильберт. Основания геометрии, Л., "Сеятель", 1923

Евклид. Начала, Санкт-Петербург, 1819

В.Ю. Протасов. Максимумы и минимумы в геометрии, Библиотека "Математическое просвещение", Выпуск 3, МЦНМО, 2005

Н.Я. Виленкин. Рассказы о множествах, 4-е изд., М., МЦНМО, 2007

Л. А. Калужин. Основная теорема арифметики, М., "Наука", 1969 г

В.А.Успенский, Простейшие примеры математических доказательств, Библиотека «Математическое просвещение», выпуск 34, МЦНМО, 2012

Научно-популярная литература

Дж. Дербишир. Простая одержимость: Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике (John Derbyshire. Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics), «Астрель», 2010

Э. Эбботт. Флатландия. Д. Бюргер. Сферландия, "Амфора", 2015

Оценки:

Тематический план занятий и схему выставления оценок можно найти в файле с учебной программой (см. ниже).

Статус: Майнор
Преподаватели: Кириченко Валентина Алексеевна (читает лекции, ведет семинары и принимает экзамены/зачеты), Смирнов Евгений Юрьевич (ведет семинары), Фейгин Евгений Борисович (ведет семинары), Эстеров Александр Исаакович (ведет семинары)
Язык: русский
Уровень: Бакалавриат
Когда читается: 2-й курс, 1, 2 модуль
Кредитов: 5
Прогр. уч. дисц.:  program-1766949770-k_cHR_wUYD.pdf