Современная алгебра

Бакалавриат 2017/2018

Статус: Курс по выбору (Совместная программа по экономике НИУ ВШЭ и РЭШ)

Направление: 38.03.01. Экономика

Кто читает: Факультет математики

Где читается: Факультет экономических наук

Когда читается: 1-й курс, 3, 4 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Куюмжиян Каринэ Георгиевна

Язык: русский

Кредиты: 6

Контактные часы: 64

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Курс скомпонован из базовых теорем об алгебраических структурах, наиболее активно используемых в современной математике. Целью освоения дисциплины «Современная алгебра» является преодоление пути от классической задачи о решении уравнения и системы уравнений к современным задачам, осваивая в систематическом порядке методы их решения, овладение понятиями и методами современной алгебры как на уровне алгебраического взгляда на математические объекты, так и на уровне практического решения задач.

Цель освоения дисциплины

Целью освоения дисциплины «Современная алгебра» является преодоление пути от классической задачи о решении уравнения и системы уравнений к современным задачам, осваивая в систематическом порядке методы их решения, овладение понятиями и методами современной алгебры как на уровне алгебраического взгляда на математические объекты, так и на уровне практического решения задач.

Планируемые результаты обучения

Знает основные факты о таких алгебраических структурах, как группы, кольца и поля
Понимает алгоритмические аспекты современной алгебры
Умеет производить базовые вычисления с алгебраическими структурами, применять изученные факты и методы в прикладных задачах
Владеет навыками работы с конечными группами и конечными полями, овладеть основными техническими приемами алгебры многочленов и теории абелевых групп

Содержание учебной дисциплины

Модуль I: "кольца и идеалы".
1) Основные алгебраические структуры: группы, кольца, поля 2) Отношения эквивалентности. Фактормножества. Поле частных. Простые подполя 3) Евклидовы кольца. Алгоритм Евклида и наибольший общий делитель. Простые элементы. Факториальность 4) Цепные дроби и теорема о линейном представлении НОД. Решение линейных диофантовых уравнений. Неприводимые над Z и над Q многочлены 5) Идеалы. Простые идеалы 6) Факторкольца. Теорема о гомоморфизме 7) Китайская теорема об остатках. Модули. Конечнопорождённые абелевы группы и их свойства Промежуточная контрольная работа.
Модуль II: "Модули над евклидовыми кольцами и кольцами главных идеалов. Конечные группы".
8) Классификация конечнопорождённых абелевых групп 9) Векторные пространства, модули над коммутативным кольцом. Базис векторного пространства, свободные модули. Примеры. 10) Линейные отображения, отображения модулей (сплетающие операторы). Подмодули и фактормодули, приводимость и разложимость. 11) Структура конечнопорождённых модулей над евклидовым кольцом. Нормальная форма Смита. 12) Следствия: нормальные формы Жордана и Фробениуса. 13) Полупрямые произведения 14) Коммутант. Действия 15) Теоремы Силова

Элементы контроля

Домашние задани
Итоговая контрольная работа
Промежуточная контрольная работа

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (4 модуль)
0.4 * Домашние задани + 0.4 * Итоговая контрольная работа + 0.2 * Промежуточная контрольная работа

Программа дисциплины