Однородные и неоднородные системы линейных уравнений. Элементарные преобразования. Алгоритм Гаусса. Существование ненулевого решения у однородной системы, когда число неизвестных больше числа уравнений.

Матрицы и операции над ними. Связь со СЛУ. Невырожденность, специальные виды матриц. Блочные формулы. Полиномиальное исчисление от матриц. Минимальный многочлен и спектр матрицы. Понятие нормы.

Определение перестановок. Операция на перестановках. Правила переименования. Циклы. Знак перестановки. Три подхода к определителям: (I) согласованность с умножением, (II) полилинейность и кососимметричность по строкам (или столбцам), (III) явная формула с помощью перестановок. Миноры, сопряженная матрица, обратная матрица, след. Специальные классы матриц. Формулы Крамера. Теорема Гамильтона-Кэли.

Определение поля и изоморфизма полей. Комплексные числа: концептуальное определение, две конструкции. Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел (основная теорема алгебры), кратность корня и теорема Безу.

Векторные пространства, подпространства, линейные комбинации, линейная зависимость, линейная оболочка, базисы, ФСР. Связь с матрицами, пять эквивалентных определений ранга: строчный, столбцовый, факториальный, тензорный, минорный. Теорема Кронекера-Капелли.

Понятие линейного отображения и примеры. Изоморфизмы. Операции на линейных отображениях, структура векторного пространства. Критерий существования линейного отображения. Матрица линейного отображения и правила ее замены при смене базисов. Образ и ядро, связь их размерностей. Критерий инъективности и сюръективности. Прямая сумма подпространств. Связь блочной структуры матрицы линейного отображения с разложением в прямую сумму. Оценка ранга произведения матриц снизу.

Понятие линейного оператора. Характеристики линейного оператора: след, определитель, характеристический многочлен, спектр. Собственные/корневые векторы и подпространства их связь со спекторм. Лемма о стабилизации образа и ядра. Классификационный результат для линейных отображений. Линейная независимость подпространств. Критерий диагонализуемости линейного оператора. Инвариантные подпространства. Разложение пространства в прямую сумму с помощью оператора со стабильным ядром. Геометрическая интерпретация кратности корня минимального многочлена. Геометрическая интерпретация кратности корня характеристического многочлена.

Разложение пространства в прямую сумму корневых подпространств. Отношение равенства по модулю подпространства. Высота вектора для нильпотентного оператора. Определение жорданова базиса и жордановой нормальной формы (ЖНФ). Теорема о ЖНФ для нильпотентных операторов. Теорема о ЖНФ для произвольного оператора. Определение идеального спектра. Определение корневого и собственного подпространства для элемента идеального спектра. Разложение всего пространства в прямую сумму корневых подпространств для произвольного оператора. Общая задача о построении ЖНФ над произвольным полем. Объяснение, почему мы ограничимся вещественным полем. Теорема о существовании и единственности ЖНФ для вещественного поля.

Двойственное (сопряженное) пространство с примерами. Понятие о двойственном базисе. Связь размерности пространства и его двойственного. Векторы -- это функции на функциях, изоморфизм векторного пространства на свое двойное сопряженное. Конструкция сопряженного линейного отображения и свойства функториальности звёздочки. Матрица сопряженного линейного отображения в двойственном базисе. Согласованность изоморфизма векторного пространства с двойным сопряженным и конструкции сопряженного линейного отображения.

Понятие билинейной формы, матричный формализм. Матричные характеристики билинейных форм. Ортогональные дополнения, ядра формы, невырожденность. Двойственность для подпространств. Двойственность для линейных отображений (альтернатива Фредгольма). Характеристики оператора и сопряженного оператора. Когда две матрицы задают одну и ту же билинейную форму. Симметричность и кососимметричность. Разложение любой билинейной формы в сумму симметрической и кососимметрической. Диагонализация симметрической билинейной форме в характеристике не 2 (и контрпример в случае 2). Симметричный Гаусс. Методя Якоби и алгоритм диагонализации. Квадратичные формы. Поляризационная формула (в характеристике не 2). Изоморфизм между симметричными билинейными формами и квадратичными формами в случае характеристики не 2. Алгоритм Лагранжа. Классификация билинейных форм: (1) над алгебраически замкнутым полем, (2) над полем вещественных чисел. Понятие индексов инерции и их корректность, критерий Сильвестра. Геометрический смысл сигнатуры.

Понятие Евклидова пространства. Ортогональные и ортонормированные базисы. Классификация Евклидовых пространств. Сведение к школьной геометрии. Определение расстояния, углов. Неравенство Коши-Буняковского, Теорема Пифагора. Ортогонализация Грама-Шмидта. Проекции и ортогональные составляющие. Явные формулы ортопроектора в ортонормированном базисе (БАБА, Атата). Расстояния и углы между некоторыми подмножествами. Метод наименьших квадратов. Матрица Грама. Объем k-мерного параллелепипеда и формулы для него. Ориентированный объем, ориентация базисов.

Полуторалинейные формы и их матрицы. Эрмитово сопряжение. Сведение полуторалинейных форм к билинейным. Двойственность для подпространств. Квадратичные фомры, комплексная поляризационная формула, изоморфизм между полуторалинейными формами и квадратичными формами. Симметричные полуторалинейные (эрмитовы) формы, их свойства и теорема о классификации. Индексы инерции. Положительная и отрицательная определенность форм. Метод Якоби и критерий Сильвестра. Эрмитово векторное пространство. Длина вектора, неравенство Коши-Буняковского, угол между векторами. Ортонормированные базисы в Эрмитовом пространстве. Обзор геометрических понятий: ортогональные проекции, углы и расстояния, метод наименьших квадратов, матрица Грама и формальный объем.

Комплексификация и овеществление векторного пространства, линейного отображения и билинейной формы. Понятие движения (3 эквивалентных определения). Ортогональные и унитарные операторы их связь при комплексификации. Матрица движения в ортонормированном базисе. Спектр и собственные векторы движений. Классификация движений. Критерий существования скалярного произведения, чтобы данный оператор стал движением. Определение сопряженного линейного отображения. Самосопряженный оператор. Классификация самосопряженных операторов. Критерий существования скалярного произведения, чтобы заданный оператор стал самосопряженным. Изоморфизм между операторами и билинейными (полуторалинейными формами) в евклидовом (эрмитовом) пространстве. Приведение к главным осям. Сингулярное разложение (SVD) линейного отображения. Скалярное произведение в пространстве операторов и его матричная форма. Норма Фробениуса. Задача о низкоранговом приближении. Положительно определенные операторы и их свойства.

Аффинные пространства. Понятие репера, аффинные координаты и формулы замены координат. Положительная декартова система координат. Линейные многообразия. Направляющее пространство, размерность линейного многообразия. Утверждение о линейном многообразии проходящем через k + 1 точку. Параллельные и скрещивающиеся линейные многообразия. Расстояние и угол между многообразиями. Поверхности второго порядка. Векторное произведение в трехмерном евклидовом пространстве. Смешанное произведение, связь с ориентированным объемом, формулы вычисления. Проективное пространство. Однородные координаты, локальные карты и аффинные координаты. Проективные преобразования и их запись в координатах. Пример применения проективных преобразований для реализации z-буффера в 3D движках.

0.175 * домашние задания 1 + 0.25 * Коллоквиум 1 + 0.175 * контрольная 1 + 0.1 * работа на семинаре 1 + 0.3 * экзамен 1

0.175 * домашние задания 2 + 0.25 * коллоквиум 2 + 0.175 * контрольная 2 + 0.1 * работа на семинаре 2 + 0.3 * экзамен 2