Магистратура
2018/2019
Операторные и геометрические методы динамики
Статус:
Курс обязательный (Математические методы моделирования и компьютерные технологии)
Направление:
01.04.02. Прикладная математика и информатика
Кто читает:
Департамент прикладной математики
Когда читается:
2-й курс, 1, 2 модуль
Формат изучения:
без онлайн-курса
Преподаватели:
Выборный Евгений Викторович
Прогр. обучения:
Математические методы моделирования и компьютерные технологии
Язык:
русский
Кредиты:
4
Контактные часы:
60
Программа дисциплины
Аннотация
Целями освоения дисциплины «Операторные и геометрические методы динамики» является ознакомление студентов с широким кругом современных математических методов и типов задач в области некоммутативного анализа линейных и нелинейных динамических систем и их многочисленными приложениям. Все необходимые новые сведения и математические методы вводятся по мере необходимости и подробно объясняются. Изложены самые современные подходы и главные базовые формулы. Даются постановки актуальных задач и демонстрируются приложения.
Цель освоения дисциплины
- ознакомление студентов с широким кругом современных математических методов и типов задач в области некоммутативного анализа линейных и нелинейных динамических систем и их многочисленными приложениям
Планируемые результаты обучения
- знать: основные формулы и методы современного некоммутативного анализа
- уметь: проводить исследование динамических систем современными математическими методами
- владеть: навыками применения методов некоммутативного анализа для решения задач классической механики
Содержание учебной дисциплины
- Общие принципы операторного анализа.Анализ функций от операторов -революция в классическом анализе. Почему некоммутативный анализ необходим для квантовой механики. Алгебраические источники динамики: мир меняется поскольку он некоммутативен. Подход Фейнмана к функциям от семейств некоммутирующих операторов. Формула выпутывания. Хроно-алгебры Фейнмана и алгебраическая динамика. Парадоксы некоммутативности: как доказать, что 0=1. Неравенство Вейля и соотношение неопределенности Гейзенберга.
- Исчисление символов в операторном анализе.Символы операторов. Коммутатор и скобки Пуассона. Как перейти к коммутативному (классическому) пределу. Некоммутативное произведение символов с точки зрения геометрии, формулы сложения площадей. Формулы следа и формула Аргиреса для вычисления спектра. Тензоры тока и напряжения Эйнштейна, выведенные из алгебры Гейзенберга и распределения Больцмана. Локализация на траекториях и транслокация гамильтониана. Использование гауссовых пакетов и сжатых состояний для описания динамики.
- Операторный метод разделения «быстрых» и «медленных» переменных.Адиабатическое приближение в линейных и нелинейных динамических системах. Адиабатические инварианты. Маятник Фуко и волчок. Квантовое адиабатическое приближение: молекулярные термы. Влияние алгебры быстрых движений на динамику медленных. Изоспектральная деформация. Уравнение нулевой кривизны и параллельный перенос в квантовых адиабатических системах. Геометрическая фаза и кривизна. Фаза Хэнни -Берри. Дрейф ведущего центра Ландау-Пайерлса для ларморова вихря в магнитном поле, геометрический (незатухающий) ток. Ток Холла и электрическая кривизна. Эффективный продольный потенциал в волоконной оптике.
Список литературы
Рекомендуемая основная литература
- Alpay, D., Cipriani, F., Colombo, F., Guido, D., Sabadini, I., Sauvageot, J.-L., Noncommutative Analysis, Operator Theory and Applications / Springer International Publishing Switzerland 2016
Рекомендуемая дополнительная литература
- S. J. Gustafson, I. M. Sigal, Mathematical Concepts of Quantum Mechanics / Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011