• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
Бакалавриат 2018/2019

Алгебра и геометрия

Статус: Курс обязательный (Бизнес-информатика)
Направление: 38.03.05. Бизнес-информатика
Когда читается: 1-й курс, 1, 2 модуль
Формат изучения: Full time
Язык: русский
Кредиты: 6

Программа дисциплины

Аннотация

Курс "Алгебра и геометрия", читаемый на 1 курсе бакалаврской программы "Бизнес-информатика", знакомит студентов с основами линейной алгебры, аналитической геометрии и общей алгебры. Целью освоения дисциплины является формирование у студентов навыков использования методов линейной и общей алгебры для решения прикладных, в том числе экономических и геометрических, задач. Полученные знания потребуются студентам для освоения многих других теоретических и прикладных дисциплин, в которых используются векторные, матричные и операторные обозначения.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • ознакомление студентов с основами линейной алгебры, аналитической геометрии и общей алгебры
  • формирование у студентов навыков использования методов линейной алгебры для формализации и решения прикладных задач, в том числе экономических и геометрических
Результаты освоения дисциплины

Результаты освоения дисциплины

  • решать системы 2 и 3 порядка методом Крамера
  • производить основные операции с векторами
  • решать основные задачи на расстояния, углы, площади, объемы в координатах
  • решать задачи на точки и прямые на плоскости
  • решать задачи на точки, прямые и плоскости в пространстве
  • приводить кривую второго порядка к каноническому виду
  • производить основные операции с матрицами
  • вычислять определитель произвольной квадратной матрицы, вычислять обратную матрицу, решать матричные уравнения
  • вычислять ранг матрицы, решать системы линейных алгебраических уравнений
  • формулировать основные понятия, связанные с линейными пространствами
  • производить основные операции с комплексными числами
  • формулировать основные понятия, связанные с линейными операторами, билинейными и квадратичными формами
  • применять метод ортогонализации Грама-Шмидта, вычислять ортогональную проекцию и ортогональную составляющую вектора
  • приводить матрицу самосопряженного оператора к диагональному виду
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Введение
    Предмет курса. Принципы построения и изучения курса. Краткое содержание. Рекомендации по изучению курса, самостоятельной работе и литературе. О формах контроля и отчетности при изучении курса
  • Некоторые сведения из теории определителей и систем линейных уравнений
    Определители матриц второго и третьего порядка. Примеры. Системы линейных уравнений (2 уравнения и 2 неизвестных, 3 уравнения и 3 неизвестных). Метод Крамера для систем с двумя и тремя неизвестными.
  • Векторная алгебра
    Линейные операции с векторами и их свойства. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов, вычисление в координатах. Свойства рассматриваемых операций над векторами.
  • Системы координат и простейшие задачи, решаемые с использованием векторной алгебры
    Декартова (аффинная) системы координат. Координаты точек плоскости (пространства). Деление отрезка в заданном соотношении. Вычисление площадей треугольника и параллелограмма. Вычисление объема параллелепипеда и треугольной пирамиды.
  • Прямая линия на плоскости
    Различные виды уравнений прямой. Вычисление угла между прямыми, определение взаимного расположения двух прямых, условия параллельности и перпендикулярности, определение взаимного расположения точек относительно прямой, вычисление расстояния от точки до прямой, вывод уравнений биссектрис угла.
  • Прямая и плоскость в пространстве
    Различные виды уравнений плоскости. Вычисление расстояния от точки до плоскости, нахождение угла между плоскостями, исследование взаимного расположения плоскостей, условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Различные уравнения прямой в пространстве. Вычисление угла между прямыми, нахождение угла между прямой и плоскостью, исследование взаимного расположения прямых, а также прямой и плоскости.
  • Кривые второго порядка
    Эллипс, гипербола, парабола. Вывод их уравнений и описание простейших свойств. Упрощение уравнений кривых второго порядка.
  • Алгебра матриц
    Матрицы, операции с матрицами и их свойства. Элементарные преобразования строк матрицы, эквивалентные матрицы. Ступенчатый вид матрицы.
  • Определители. Обратные матрицы.
    Перестановки, инверсии в перестановках, четность перестановок. Подстановки. Определитель матрицы. Свойства определителей. Миноры, алгебраические дополнения. Разложение определителя по элементам строки и столбца. Определитель произведения двух матриц. Обратные матрицы. Критерий обратимости матриц. Формула для вычисления обратной матрицы. Нахождение обратной матрицы с использованием элементарных преобразований.
  • Матрицы и системы линейных алгебраических уравнений
    Ранг матрицы. Теорема о ранге матрицы. Теорема о базисном миноре. Ранг произведения матриц. Однородные и неоднородные системы линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Метод Гаусса. Главные и свободные неизвестные. Метод Крамера для решения квадратных систем линейных уравнений. Матричные уравнения.
  • Линейные пространства
    Линейные (векторные) пространства. Линейная зависимость и линейная независимость векторов. Линейная оболочка системы векторов. Нахождение ее базиса с использованием ступенчатой матрицы. Базис и размерность линейного пространства. Координаты вектора относительно базиса. Изменение координат вектора при изменении базиса. Матрица перехода от «старого» базиса к «новому». Подпространства линейных пространств и их базисы. Свойства линейно независимых систем векторов в подпространстве. Размерность линейной оболочки конечной системы векторов. Подпространство решений однородной системы линейных уравнений, его базис и размерность. Фундаментальная система решений и общее решение однородной системы линейных уравнений. Связь между решениями неоднородной и соответствующей однородной систем. Векторная форма записи решений.
  • Поле комплексных чисел
    Поле комплексных чисел. Алгебраическая и тригонометрическая форма записи комплексного числа. Модуль и аргумент. Операции над комплексными числами. Формула Муавра. Формула Эйлера. Показательная форма записи. Извлечение корня n-ой степени из комплексного числа. Геометрические свойства корней из комплексного числа. Решение квадратных уравнений.
  • Линейные операторы. Билинейные и квадратичные формы
    Линейные операторы и их матрицы. Изменение матрицы линейного оператора при изменении базиса. Подобие матриц. Образ и ядро линейного оператора. Операции над линейными операторами. Собственные значения, собственные векторы линейных операторов. Линейная независимость собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям. Нахождение собственных значений и собственных векторов линейного оператора. Характеристическое уравнение и характеристический многочлен квадратной матрицы. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду. Билинейные и квадратичные формы. Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду. Закон инерции квадратичных форм. Положительно определенные квадратичные формы, критерий Сильвестра.
  • Евклидовы пространства
    Евклидово пространство. Неравенство Коши-Буняковского, длины векторов и углы между векторами. Матрица Грама. Ортонормированный базис, процесс ортогонализации Грама-Шмидта. Ортогональные матрицы. Переход от одного ортонормированного базиса к другому. Ортогональное дополнение линейного подпространства в евклидовом пространстве. Ортогональная проекция вектора на подпространство.
  • Линейные операторы в евклидовых пространствах
    Самосопряженные операторы. Свойства собственных векторов и собственных значений. Существование ортонормированного базиса из собственных векторов самосопряженного оператора в евклидовом пространстве. Ортогональные преобразования. Приведение квадратичной формы к главным осям с помощью ортогональной замены переменных.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий контрольная работа 1
  • неблокирующий контрольная работа 2
  • неблокирующий контрольное домашнее задание
  • неблокирующий аудиторная работа
  • неблокирующий письменный экзамен
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (2 модуль)
    0.04 * аудиторная работа + 0.14 * контрольная работа 1 + 0.14 * контрольная работа 2 + 0.08 * контрольное домашнее задание + 0.6 * письменный экзамен
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • - Проскуряков И.В. — Сборник задач по линейной алгебре: учебное пособие - Издательство "Лань" - 2019 - ISBN: 978-5-8114-4044-3 - Текст электронный // ЭБС Лань - URL: https://e.lanbook.com/book/114701
  • Бурмистрова Е. Б., Лобанов С. Г.-ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебник и практикум для академического бакалавриата-М.:Издательство Юрайт,2019-421-Бакалавр. Академический курс-978-5-9916-3588-2: -Текст электронный // ЭБС Юрайт - https://biblio-online.ru/book/lineynaya-algebra-425852

Рекомендуемая дополнительная литература

  • - Геворкян П.С. — Высшая математика. Линейная алгебра и аналитическая геометрия - Издательство "Физматлит" - 2011 - ISBN: 978-5-9221-0860-7 - Текст электронный // ЭБС Лань - URL: https://e.lanbook.com/book/48192
  • - Ильин В.А., Позняк Э.Г. — Аналитическая геометрия - Издательство "Физматлит" - 2009 - ISBN: 978-5-9221-0511-8 - Текст электронный // ЭБС Лань - URL: https://e.lanbook.com/book/2179
  • - Ильин В.А., Позняк Э.Г. — Линейная алгебра. - Издательство "Физматлит" - 2007 - ISBN: 978-5-9221-0481-4 - Текст электронный // ЭБС Лань - URL: https://e.lanbook.com/book/2178
  • Fuad Aleskerov, Hasan Ersel, & Dmitri Piontkovski. (2011). Linear Algebra for Economists. Springer. Retrieved from http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=true&site=eds-live&db=edsrep&AN=edsrep.b.spr.sptbec.978.3.642.20570.5
  • Шафаревич, И. Р. Линейная алгебра и геометрия [Электронный ресурс] / И. Р. Шафаревич, А. О. Ремизов. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2009. - 512 с. - ISBN 978-5-9221-1139-3.