2018/2019
Введение в алгебраическую топологию
Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»
Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»
Статус:
Дисциплина общефакультетского пула
Кто читает:
Факультет математики
Где читается:
Факультет математики
Когда читается:
1, 2 модуль
Язык:
русский
Кредиты:
5
Контактные часы:
60
Программа дисциплины
Аннотация
Целями освоения дисциплины «Введение в алгебраическую топологию» являются: • Формирование у слушателей ясного представления о базисных понятиях и основных методах алгебраической топологии. • Освоение слушателями понятия фундаментальной группы и умения ее вычислять в простейших и первых нетривиальных ситуациях. • Освоение слушателями понятия симплициальных отображений и симплициальных гомологий и умения их вычислять в простейших и первых нетривиальных ситуациях. • Формирование у слушателей представления об алгебраических характеристиках топологических пространств и умения доказывать инвариантность этих характеристик при гомеоморфизмах и гомотопиях. • Освоение слушателями понятия комбинаторных многообразий, ориентируемости, эйлеровой характеристики. • Освоение слушателями умения применять топологические инварианты для различения топологических пространств. • Освоение слушателями понятия когомологий, умножения в когомологиях и умения их вычислять в простейших и первых нетривиальных ситуациях. • Формирование у слушателей представления о клеточных гомологиях и основных результатах теории Морса. Изучение данной дисциплины базируется на базовых курсах алгебры, геометрии, математической логики и математического анализа, топологии. Желательно, но не необходимо также знание примеров топологических пространств, многообразий и топологических групп, таких как сферы, проективные пространства, грассманианы, ортогональные группы.
Цель освоения дисциплины
- Формирование у слушателей ясного представления о базисных понятиях и основных методах алгебраической топологии, представления о клеточных гомологиях и основных результатах теории Морса, представления об алгебраических характеристиках топологических пространств и умения доказывать инвариантность этих характеристик при гомеоморфизмах и гомотопиях
- Освоение слушателями понятий: фундаментальной группы, симплициальных отображений и симплициальных гомологий, когомологий, умножения в когомологиях и умения их вычислять в простейших и первых нетривиальных ситуациях, а также понятия комбинаторных многообразий, ориентируемости, эйлеровой характеристики
- Освоение слушателями умения применять топологические инварианты для различения топологических пространств
Планируемые результаты обучения
- Получить общее представление об алгебраических инвариантах топологических пространств. Изучить основные топологические и алгебраические методы алгебраической топологии. Овладеть техникой вычисления основных алгебро-топологических характеристик топологических пространств в простейших и первых нетривиальных ситуациях
- Быть готовым использовать основные принципы и методы алгебраической топологии в последующей профессиональной деятельности в качестве научного сотрудника или преподавателя вуза
Содержание учебной дисциплины
- Повторение основных понятий и результатов общей топологии, используемых в курсе
- Графы, поверхности, симплициальные комплексы, симплициальные отображения
- Пути, гомотопии путей, фундаментальная группа, накрытия, вычисление фундаментальной группы
- Когомологии симплициальных комплексов. Умножение в когомологиях
- Клеточные комплексы и клеточные гомологии. Многообразия. Двойственность Пуанкаре. Элементы теории Морса. Неравенства Морса
- Цепные комплексы векторных пространств, гомологии с коэффициентами в поле, гомологии симплициальных комплексов, гомологии с коэффициентами в абелевой группе