• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
Специалитет 2018/2019

Введение в теорию чисел

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»
Статус: Курс обязательный (Компьютерная безопасность)
Когда читается: 1-й курс, 3, 4 модуль
Формат изучения: Full time
Специальность: 10.05.01. Компьютерная безопасность
Язык: русский
Кредиты: 3

Программа дисциплины

Аннотация

Данная дисциплина относится к вариативной профильной части Профессионального цикла (Major), проводится на 1 курсе обучения и является обязательной. Для освоения учебной дисциплины студенты должны владеть базовыми школьными знаниями и компетенциями. Результаты освоения дисциплины используются в дальнейшем при изучении таких дисциплин, как Дискретная Математика, Комбинаторика, Математическая Логика, Теория Графов, Теория кодирования. Дисциплина Введение в Теорию Чисел обеспечивает приобретение знаний и умений в соответствии с государственным образовательным стандартом, формированию мировоззрения и развитию системного мышления. Она знакомит студентов с основными элементарными понятиями и методами, связанными с изучением свойств натуральных и целых чисел. Знания и практические навыки, полученные по дисциплине, используются студентами при изучении профессиональных дисциплин, а также при выполнении курсовых и домашних работ. Место дисциплины в структуре ООП специалитета. Дисциплина Теория Чисел относится к базовой части математического и естественнонаучного цикла. Она обеспечивает фундаментальные знания, и формирует умения и навыки, необходимые для изучения многих математических дисциплин и дисциплин инженерных направлений.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Ознакомить студентов с основными элементарными понятиями и методами, связанными с изучением свойств натуральных и целых чисел
Результаты освоения дисциплины

Результаты освоения дисциплины

  • Знать определение и основные свойства множеств натуральных, целых и рациональных чисел
  • Знать о существовании общего наибольшего делителя у любых двух натуральных чисел
  • Уметь находить общий наибольший делитель нескольких чисел
  • Знать определение простого числа и о существовании бесконечного множества простых чисел
  • Знать о существовании и единственности разложения натурального числа в произведение простых
  • Уметь определять, является ли данное число простым
  • Уметь факторизовать данное натуральное число
  • Знать определение и основные свойства сравнений
  • Знать что классы сравнимых друг с другом целых чисел mod m образуют кольцо с делителями нуля, если m - составное число и поле, если m - простое число
  • Знать какие элементы кольца вычетов mod m обратимы в этом кольце
  • Уметь решать системы линейных сравнений
  • Знать какой функцией определяется число обратимых элементов кольца вычетов mod m, и как она вычисляется
  • Знать что группа обратимых элементов и кольце вычетов является циклической
  • Знать формулировку и доказательство теорем Эйлера и Ферма
  • Уметь вычислять Функцию Эйлера
  • Знать определение квадратичного вычета и невычета
  • Знать для каких p число -1 является квадратичным вычетом mod p и для каких - квадратичным невычетом mod p
  • Знать для каких p число 2 является квадратичным вычетом mod p и для каких - квадратичным невычетом mod p
  • Знать определение и свойства символа Лежандра и формулы для его вычисления
  • Знать квадратичный закон взаимности и как он применяется
  • Уметь решать квадратные уравнения в кольце вычетов mod m
  • Уметь вычислять символ Лежандра
  • Знать какие числа являются квадратичными вычетами
  • Знать определение и свойства символа Якоби
  • Уметь вычислять символ Якоби
  • Знать определение и свойства первообразных корней индексов
  • Уметь находить первообразные корни и индексы и уметь их применять
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Числовая ось. Натуральные числа. Целые числа. Рациональные числа. Целая и дробная части числа. Метод математической индукции Формула бинома Ньютона. Число точек с целыми координатами в заданном множестве.
  • Делимость натуральных чисел. Делимость с остатком. Общий наибольший делитель нескольких целых чисел. Алгоритм Евклида.
  • Простые числа. Бесконечность множества простых чисел. Решето Эратосфена. Факторизация натуральных чисел.
  • Кольцо вычетов mod m. Группа обратимых элементов в этом кольце. Нахождение обратного элемента к обратимому элементу кольца вычетов mod m
  • Кольцо вычетов mod m как прямая сумма колец вычетов p^k, где p - простые числа, делящие число m, а p^k - наибольшая степень каждого такого p, делящая число m. Группа обратимых элементов в этом кольце как прямое произведение. групп обратимых элементов в указанных выше кольцах вычетов p^k. Применение к решению систем линейных сравнений.
  • Функция Эйлера и её вычисление. Теоремы Эйлера и Ферма. Кольцо вычетов mod p как поле характеристики p. Полиномы над произвольным полем.
  • Квадратичные вычеты и невычеты mod m. Символ Лежандра. Квадратичный закон взаимности.
  • Символ Якоби, его свойства и применение. Квадратичные вычеты и невычеты mod 2^k.
  • Цикличность группы обратимых элементов в кольце вычетов mod p^k, где p - нечётное простое число. Первообразные корни, индексы и их применение.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Created with Sketch. Домашняя работа
  • неблокирующий Created with Sketch. Контрольная работа
  • неблокирующий Created with Sketch. Экзамен
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (3 модуль)
    0.25 * Домашняя работа + 0.25 * Контрольная работа + 0.5 * Экзамен
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • - Глухов М.М., Круглов И.А., Пичкур А.Б. — Введение в теоретико-числовые методы криптографии - Издательство "Лань" - 2011 - ISBN: 978-5-8114-1116-0 - Текст электронный // ЭБС Лань - URL: https://e.lanbook.com/book/68466
  • Теоретико - числовые методы в криптографии : учеб. пособие, Нестеренко А. Ю., 2012

Рекомендуемая дополнительная литература

  • - Василенко О.Н. — Теоретико-числовые алгоритмы в криптографии - Московский центр непрерывного математического образования - 2006 - ISBN: 5-94057-103-4 - Текст электронный // ЭБС Лань - URL: https://e.lanbook.com/book/9303