Избранные главы квантовой механики

Магистратура 2018/2019

Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»

Статус: Курс по выбору (Суперкомпьютерное моделирование в науке и инженерии)

Направление: 01.04.04. Прикладная математика

Кто читает: Базовая кафедра «Прикладные информационно-коммуникационные средства и системы» ВЦ РАН

Где читается: Московский институт электроники и математики им. А.Н. Тихонова

Когда читается: 1-й курс, 3, 4 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Сатанин Аркадий Михайлович

Прогр. обучения: Суперкомпьютерное моделирование в науке и инженерии

Язык: русский

Кредиты: 3

Контактные часы: 40

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает требования к образовательным результатам и результатам обучения студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности. Программа предназначена для преподавателей, ведущих дисциплину «Избранные главы квантовой механики», учебных ассистентов и студентов, обучающихся по образовательной программе 01.04.04 Суперкомпьютерное моделирование в науке и инженерии . Программа учебной дисциплины разработана в соответствии с: ● ФГОС ВПО по направлению подготовки 01.04.04 «Прикладная математика» (квалификация (степень) «магистр»). ● Объединенным планом на 2018/19 учебный год Московский институт электроники и математики НИУ ВШЭ 01.04.04 Суперкомпьютерное моделирование в науке и инженерии, Магистратура 1 курс.

Цель освоения дисциплины

Целями освоения дисциплины «Избранные главы квантовой механики» являются • Фундаментальная подготовка в области изучения математического аппарата, принципов и методов квантовой механики • Формирование представлений, получение знаний, умений и навыков по применению методов квантовой механики при решении поставленных задач

Планируемые результаты обучения

Овладение методами квантовой механики для дальнейшего использования в научно-исследовательской работе

Содержание учебной дисциплины

Математический аппарат квантовой механики.
Базис в гильбертовом пространстве. Понятия вектора состояния и пространства состояний. Обозначения Дирака. Нормировка собственных векторов дискретного и непрерывного спектра. Унитарные преобразования. Координатное, импульсное и энергетическое представления. Условия одновременной измеримости физических величин. Коммутатор и его свойства. Скобки Пуассона. Полный набор коммутирующих операторов. Соотношение неопределенности.
Эволюция во времени.
Оператор эволюции вектора состояния. Представления Шредингера и Гейзенберга. Уравнение Гейзенберга для операторов физических величин.
Одномерное движение. Связанные состояния.
Общие свойства одномерного движения. Невырожденность дискретного спектра. Движение свободной частицы. Отражение и прохождение волн. Туннельный переход и надбарьерное отражение. Квазистационарные состояния. Движение в периодическом поле. Теорема Блоха.
Одномерный гармонический осциллятор.
Нахождение энергетического спектра и векторов стационарных состояний гармонического осциллятора исходя из коммутационных соотношений. Когерентные состояния осциллятора.
Орбитальный момент импульса. Собственные значения и собственные функции операторов момента импульса.
Операторы орбитального момента импульса частицы и его квадрата в декартовых и сферических координатах. Нахождение собственных значений и построение системы собственных векторов этих операторов исходя из коммутационных соотношений. Целые и полуцелые значения момента. Переход к координатному представлению. Сферические функции. Спин частицы. Принцип Паули. Матрицы Паули. Операторы вращения на конечный угол. Уравнение Паули.
Движение в центрально-симметричном поле.
Гамильтониан в сферических координатах. Разделение радиальной и угловых переменных в стационарном уравнении Шредингера. Уравнение для радиальной функции. Полный набор измеряемых величин. Радиальное и орбитальное квантовые числа и квантовое число проекции момента. Кратность вырождения уровней.
Атом водорода.
Разделение переменных в квантово-механической задаче двух тел. Атомная система единиц. Волновые функции и спектр энергии. Кулоновское вырождение уровней энергии.
Квазиклассическое приближение.
Квазиклассическая волновая функция. Критерий применимости квазиклассического приближения. Граничные условия и правило Бора-Зоммерфельда. Условия сшивки квазиклассических решений, взятых по разные стороны от точки поворота. Фазовый объем, приходящийся на одно состояние, и плотность состояний. Вероятность туннелирования через потенциальный барьер. Туннельное расщепление в двухъямном потенциале. Распад метастабильного состояния.
Теория возмущений
Стационарная теория возмущений. Рекуррентные формулы для поправок к энергии и к состояниям. Критерий применимости теории возмущений. Стационарное возмущение вырожденных уровней дискретного спектра. Секулярное уравнение. Правильные волновые функции нулевого приближения. Нестационарная теория возмущений. Представление взаимодействия. Переходы под влиянием периодического возмущения .«Золотое правило Ферми» для плотности вероятности перехода в непрерывный спектр.
Адиабатическое приближение.
Медленно меняющийся во времени гамильтониан, адиабатический анзац. Фаза Берри. Стационарное адиабатическое приближение, «быстрая» и «медленная» подсистемы.
Матрица плотности.
Общие свойства и аппарат матриц плотности. «Чистые» и «смешанные» состояния. Редуцированная матрица плотности, запутанность. Эволюция матрицы плотности.
Тождественные частицы. Вторичное квантование.
Принцип неразличимости тождественных частиц. Волновая функция системы невзаимодействующих тождественных частиц, симметрия по отношению к перестановкам. Обменное взаимодействие. Вторичное квантование для бозонов и фермионов. Представление чисел заполнения. Коммутационные соотношения. Применение вторичного квантования для многочастичных систем со взаимодействием. Канонические преобразования Боголюбова и переход к квазичастицам.
Теория рассеяния. Одночастичная функция Грина.
Постановка задачи рассеяния. Амплитуда и сечение рассеяния. Функция Грина задачи рассеяния. Приближение Борна и критерии его применимости. Рассеяние на малые углы. Рассеяние медленных частиц, длина рассеяния. Особенности рассеяния тождественных частиц. Резонансное рассеяние.
Интеграл по траекториям для квантовой частицы.
Выражение для запаздывающего пропагатора квантовой частицы через функциональный интеграл. Пропагатор свободной частицы. Гауссовы функциональные интегралы. Пропагатор квантового гармонического осциллятора. Эквивалентность формулировки через интеграл по траекториям и уравнения Шредингера.
Введение в квантовую механику.
Физические явления, указывающие на необходимость квантовомеханического описания. Несовместимость наблюдаемой интерференции с движением по классическим траекториям. Атомный масштаб физических величин. Волна де Бройля. Волновая функция и её вероятностная интерпретация. Основные постулаты квантовой механики и их следствия. Принцип неопределенности. Принцип суперпозиции. Физические (наблюдаемые) величины и предъявляемые к ним требования. Операторы координаты, импульса и энергии (гамильтониан). Эрмитовость операторов физических величин. Среднее значение наблюдаемой величины. Уравнение Шредингера.

Элементы контроля

самостоятельная работа
домашние задания

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (4 модуль)
0.7 * домашние задания + 0.3 * самостоятельная работа

Программа дисциплины