Модели коллективных и топологических эффектов

Магистратура 2018/2019

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»

Статус: Курс обязательный (Математические методы моделирования и компьютерные технологии)

Направление: 01.04.02. Прикладная математика и информатика

Кто читает: Департамент прикладной математики

Где читается: Московский институт электроники и математики им. А.Н. Тихонова

Когда читается: 2-й курс, 1, 2 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Выборный Евгений Викторович, Гайдуков Роман Константинович, Соколик Алексей Алексеевич

Прогр. обучения: Математические методы моделирования и компьютерные технологии

Язык: русский

Кредиты: 4

Контактные часы: 60

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Целями освоения дисциплины «Модели коллективных и топологических эффектов» являются освоение основных понятий и математических моделей современной физики топологических и коллективных эффектов в новых материалах и наноструктурах, а также формирование у слушателей навыков применения полученных знаний для решения научно-исследовательских и прикладных задач. Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах: Общая физика, Квантовая механика, Математический анализ, Функциональный анализ, Уравнения математической физики.

Цель освоения дисциплины

освоение основных понятий и математических моделей современной физики топологических и коллективных эффектов в новых материалах и наноструктурах
формирование у слушателей навыков применения полученных знаний для решения научно-исследовательских и прикладных задач

Планируемые результаты обучения

знать: основы квантовой механики электрона в кристалле; главные особенности электронных свойств графена; базовые геометрические и топологические концепции, используемые в квантовой механике; базовые математические модели топологических материалов; описание микроскопических механизмов сверхпроводимости и бозе-конденсации; свойства вихревых возбуждений в нормальных и топологических сверхпроводниках
уметь: правильно выбирать подходящие математические модели для решения исследовательских и прикладных задач в области современной квантовой физики топологических и коллективных явлений; проводить на основе выбранных математических моделей аналитические и численные расчеты; оценивать и интерпретировать результаты, полученные в результате решения задач
владеть: навыками работы с математическим аппаратом квантовой механики и квантовой теории поля; навыками работы с математическими моделями физики, излагаемыми в данном курсе

Содержание учебной дисциплины

Массивные электроны в твердых телах и безмассовые электроны в графене.
Теорема Блоха. Квазиимпульс электронов. Обратная решетка, первая зона Бриллюэна. Модель сильной связи. Заполнение энергетических зон, плотность состояний. Металлы, изоляторы, полупроводники, полуметаллы. Эффективная масса электронов. Сильно-коррелированные системы с узкими энергетическими зонами. Идеальный электронный газ. Поверхность Ферми, электроны и дырки. Взаимодействие электронов, квазичастицы. Углеродные наноструктуры, sp2 -гибридазация электронов в графене. Кристаллическая решетка графена, обратная решетка графена, первая зона Бриллюэна. Гамильтониан сильной связи для электронов в графене и энергетические зоны. Эффективное уравнение Дирака для четырехкомпонентной волновой функции электрона. Вырождение по долинам, киральность и спиральность. Слабая антилокализация электронов. Клейновское туннелирование, отсутствие сильной локализации. Эффективная постоянная тонкой структуры для графена.
Топологические эффекты в квантовой механике.
Калибровочная инвариантность в квантовой механике. Калибровочные преобразования потенциалов и волновой функции, ковариантность уравнения Шредингера. Эффект Ааронова Бома, его топологический характер. Адиабатическая теорема Борна-Фока и геометрическая фаза. Связность, кривизна и фаза Берри, их изменения при калибровочных преобразованиях. Примеры фазы Берри: спин во вращающемся магнитном поле, электроны в графене. Неабелева фаза Вильчека-Зи, неабелевы калибровочные преобразования. Точки вырождения как магнитные монополи. Интерпретация фазы Берри, связности Берри и калибровочных преобразований на языке геометрии расслоений. Уровни Ландау заряженной частицы в магнитном поле. Классический эффект Холла, удельная холловская проводимость. Квантовый эффект Холла, его топологическое объяснение. Модель TKNN, топологический инвариант. Киральные электронные состояния на краю образца. Уровни Ландау и квантовый эффект Холла в графене. Дробный квантовый эффект Холла: волновая функция Лафлина и композитные фермионы.
Топологические материалы.
Двухзонная модель топологического изолятора, геометрический смысл топологического инварианта. Введение массы в графене, P-и T-симметрий. Модель Холдейна для графена, аномальный квантовый эффект Холла. Модель Кейна-Меле для графена со спин-орбитальным взаимодействием. Спин-поляризованные киральные краевые состояния. Квантовый спиновый эффект Холла. Классификация топологических изоляторов. Трехмерные топологические изоляторы, состояния на их поверхности: уравнение Дирака, связь между импульсом и спином. Топологический магнитоэлектрический эффект, изображения магнитных монополей. Трехмерные аналоги графена: дираковские и вейлевские полуметаллы. Вырождение дираковских точек, роль P-и T-симметрий. Вейлевские точки как магнитные монополи и источники кривизны Берри. Электронные состояния на поверхности вейлевских полуметаллов, фермидуги. Аксиальная аномалия в физике элементарных частиц и в вейлевских полуметаллах. Транспортные явления в вейлевских полуметаллах, киральный магнитный эффект.
Коллективные квантовые эффекты
Многочастичные квантовые системы. Квантовая запутанность частиц. Тождественность частиц, бозоны и фермионы. Частицы с дробной статистикой. Принцип Паули. Определитель Слэтера, приближение Хартри-Фока, обменная энергия. Метод вторичного квантования: пространство Фока, операторы рождения и уничтожения частиц. Заполнение квантовых состояний в идеальном электронном газе. Электроны и дырки. Взаимодействующий электронный газ, квазичастицы. Метод уравнений движения, приближение среднего поля. Сверхпроводимость: основные экспериментальные факты и микроскопический механизм возникновения. Приближение среднего поля и преобразования Боголюбова. Бозе-конденсация в идеальном газе. Бозе-конденсация в слабо взаимодействующем газе, приближение Боголюбова, спектр квазичастиц. Сверхтекучесть, критерий Ландау. Лазерное охлаждение атомов, атомные газы в оптических решетках.
Коллективные возбуждения в нормальных и топологических сверхпроводниках.
Квантованные вихри в сверхпроводниках. Взаимодействие между вихрями, вихревые решетки. Пининг и движение вихрей. Вихревые состояния в сверхтекучей жидкости и в атомном бозе-конденсате. Образование вихрей при переходе Костерлица-Таулеса. Солитоны в сверхпроводящих и сверхтекучих системах.Простая модель топологического сверхпроводника: бесспиновые частицы с p+ipспариванием. Симметрия спектра и майорановские фермионы. Топологические инварианты сверхпроводников. Состояния нулевой энергии в центре вихрей на языке уравнений Боголюбова-де Жена. Майорановские фермионы в топологических сверхпроводниках. Неабелева статистика майорановских фермионов и квантовые вычисления. Способы обнаружения майорановских фермионов.

Элементы контроля

Самостоятельная работа 1
Самостоятельная работа 2
Самостоятельная работа 3
Самостоятельная работа 4
Самостоятельная работа 5
Самостоятельная работа 6
Самостоятельная работа 7
Самостоятельная работа 8
Самостоятельная работа 9
Самостоятельная работа 10
Самостоятельная работа 11
Самостоятельная работа 12
Самостоятельная работа 13
Самостоятельная работа 14
Самостоятельная работа 15
Экзамен

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (2 модуль)
0.034 * Самостоятельная работа 1 + 0.033 * Самостоятельная работа 10 + 0.033 * Самостоятельная работа 11 + 0.033 * Самостоятельная работа 12 + 0.034 * Самостоятельная работа 13 + 0.033 * Самостоятельная работа 14 + 0.033 * Самостоятельная работа 15 + 0.034 * Самостоятельная работа 2 + 0.034 * Самостоятельная работа 3 + 0.034 * Самостоятельная работа 4 + 0.033 * Самостоятельная работа 5 + 0.033 * Самостоятельная работа 6 + 0.033 * Самостоятельная работа 7 + 0.033 * Самостоятельная работа 8 + 0.033 * Самостоятельная работа 9 + 0.5 * Экзамен

Программа дисциплины