Специалитет
2018/2019
Функциональный анализ
Статус:
Курс обязательный (Компьютерная безопасность)
Кто читает:
Кафедра компьютерной безопасности
Когда читается:
3-й курс, 3, 4 модуль
Формат изучения:
без онлайн-курса
Специальность:
10.05.01. Компьютерная безопасность
Язык:
русский
Кредиты:
5
Контактные часы:
82
Программа дисциплины
Аннотация
Данная дисциплина относится к вариативной профильной части Профессионального цикла (Major), проводится на 3 курсе обучения и является дисциплиной по выбору. Для освоения учебной дисциплины студенты должны владеть базовыми знаниями и компетенциями, полученными при изучении следующих дисциплин: Математический анализ; Линейная алгебра; Теория вероятностей и математическая статистика; Дифференциальные уравнения. Результаты освоения дисциплины используются в дальнейшем при изучении таких дисциплин, как Теория информации; Криптографические методы защиты информации; Квантовые вычисления.
Цель освоения дисциплины
- Ознакомление студентов с математическими методами описания функций, лежащих в различных функциональных пространствах, проведения исследования их структуры и свойств
- Получение навыков по применению методов функционального анализа к задачам теории информации, защиты информации, криптографии
- Ознакомление студентов с современными достижениями в теории функций и функционального анализа, а также современными проблемами стоящими перед этой дисциплиной
Планируемые результаты обучения
- Знать основные определения, постановки задач и методы их решения
- Уметь применять свои знания в таких областях как теория информации, защита информации, криптография.
- Иметь навыки применения методов теории функционального анализа
Содержание учебной дисциплины
- Элементы теории множеств (общие сведения)Сюръекция, инъекция, биекция. Существование несчетных множеств. Мощность множества. Сравнение мощностей множеств. Мощность множества всех подмножеств данного множества
- Метрические и нормированные пространстваМетрические пространства (определение, свойства). Нормированные пространства (определение, свойства). Примеры нормированных пространств. Эквивалентная норма.
- Предгильбертовы пространстваОсновные определения. Неравенство Коши. Пространство числовых последовательностей.
- Открытые множестваОпределение и свойства. Сложение и пересечение открытых множеств.
- Замкнутые множестваОпределение и свойства замкнутых множеств. Плотные и всюду плотные множества. Сеперабельные пространства.
- Полные пространстваЧастично упорядоченное множество. Миноранта, мажоранта. Точная верхняя (нижняя) грань. Определение полного пространства. Полнота и сепарабельность конечномерных пространств. Банахово пространство. Пополнение метрических пространств.
- Гильбертовы пространстваОбщие определения. Подпространство гильбертова пространства и его ортогональное дополнение. Проекция – элемент наилучшего приближения. Неравенство Бесселя. Ортонормированный базис. Разложение функций, принадлежащих сепарабельному гильбертову пространству, по ортонормированному базису. Изоморфизм сепарабельных гильбертовых пространств одной размерности.
- Полная ограниченность и компактностьε-сеть и полная ограниченность. Полная ограниченность множества и последовательность Коши. Компактность (определения). Компактные множества в полных пространствах. Полная ограниченность и компактность в конечномерных пространствах.
- Пространство C[a,b]Равномерная ограниченность и равностепенная непрерывность в C[a,b]. Теоремы Арцела, Вейерштрасса, Кантора.
- Элементы наилучшего приближенияОсновные определения. Теорема о существовании элемента наилучшего приближения (конечномерный случай). Условие существования и единственности элемента наилучшего приближения. Условия компактности единичного шара в нормированных пространствах.
- Линейные ограниченные операторы и функционалыОсновные определения. Пространство B(X,Y). Норма оператора (функционала) и ее свойства. Условия полноты пространства B(X,Y). Продолжение линейного ограниченного оператора. Сопряженные пространства. Теорема Рисса. Сильная и слабая сходимость в сопряженных пространствах. Дельта-функция Дирака. Теорема БанахаШтейнгауза. Критерий слабой сходимости. Условия слабой сходимости. Примеры линейных ограниченных операторов. Обратимые и обратные операторы. Ряды фон Неймана.
- Спектр линейного оператораОпределения регулярной точки, точки спектра линейного оператора. Компактные операторы и их свойства. Альтернатива Фредгольма. Теорема о спектре компактного оператора. Спектральный радиус.
- Сопряженные операторыОсновные определения. Самосопряженные операторы. Теорема Гильберта о компактном самосопряженном операторе.
- Непрерывные отображенияОсновные определения. Ограниченное линейное отображение. Ограниченность и непрерывность линейного отображения. Сжимающее отображение. Теорема о неподвижной точке сжимающего отображения.
Промежуточная аттестация
- Промежуточная аттестация (4 модуль)0.1 * Аудиторная активность + 0.1 * Домашняя работа + 0.1 * Коллоквиум + 0.2 * Контрольная работа + 0.5 * Экзамен
Список литературы
Рекомендуемая основная литература
- Дерр В.Я. - Функциональный анализ. Лекции и упражнения. Учебное пособие - КноРус - 2019 - 507с. - ISBN: 978-5-406-06376-7 - Текст электронный // ЭБС BOOKRU - URL: https://book.ru/book/930021
- Функциональный анализ, Рудин, У., 2005
Рекомендуемая дополнительная литература
- Лебедев В.И. - Функциональный анализ и вычислительная математика. - Издательство "Физматлит" - 2000 - 296с. - ISBN: 5-9221-0092-0 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/2243