Основы математических исследований

Бакалавриат 2018/2019

Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»

Статус: Курс по выбору (Экономика)

Направление: 38.03.01. Экономика

Кто читает: Департамент математики

Где читается: Санкт-Петербургская школа экономики и менеджмента

Когда читается: 1-й курс, 3 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Матвеенко Сергей Георгиевич, Сафроненко Евгений Владимирович, Широков Николай Алексеевич

Язык: русский

Кредиты: 3

Контактные часы: 36

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Целями освоения дисциплины «Основы математических исследований» являются изучение метода вариации, решение вариационных задач и задач оптимального управления. Материалы курса могут быть использованы для разработки и применения численных методов решения задач из многих областей знания, для построения и исследования математических моделей таких задач. Дисциплина является модельным прикладным аппаратом для изучения студентами факультета Экономики математической компоненты своего профессионального образования.

Цель освоения дисциплины

Целями освоения дисциплины «Основы математических исследований» являются изучение метода вариации, решение вариационных задач и задач оптимального управления.

Планируемые результаты обучения

Демонстрирует знание теоремы о непрерывности линейного оператора, необходимых условий экстремума
Знает основную лемму вариационного исчисления
Умеет решать дифференциальные уравнения разрешенные относительно старшей производной
Знает необходимые и достаточные условия экстремума интегрального функционала
Знает необходимое условие оптимального управления
Умеет решать вариационные задачи в физике и экономике

Содержание учебной дисциплины

Элементы дифференциального исчисления в нормированных пространствах
Нормированные пространства. Норма оператора. Теорема о непрерывности линейного оператора. Производные по Гато и Фреше функционала. Изопериметрическая задача. Необходимые условия экстремума. Второй дифференциал.
Основная лемма вариационного исчисления и методы решения дифференциальных уравнений
Лемма Дюбуа–Реймона. Основная лемма вариационного исчисления. Обыкновенные дифференциальные уравнения разрешенные относительно старшей производной: уравнения с разделяющимися переменными, уравнения, сводящиеся заменой переменной к уравнениям с разделяющимися переменными, линейные дифференциальные уравнения
Интегральные функционалы. Исследование на экстремум интегрального функционала
Гладкость интегрального функционала. Уравнение Эйлера для интегральных функционалов. Изопериметрическая задача для интегральных функционалов. Естественные граничные условия. Условие трансверсальности. Вторая вариация интегрального функционала: необходимые и достаточные условия экстремума
Задачи оптимального управления
Постановка задач оптимального управления. Допустимое управление. Принцип максимума Понтрягина : необходимое условие оптимального управления.
Вариационные задачи в физике и экономике
Задача о брахистохроне. Задача Дидоны. Задача о инвестиционных решениях по продаже.

Элементы контроля

Домашнее задание
Домашнее задание выполняется студентами во внеаудиторная время в формате домашней работы. Выдается студентам в одном варианте и состоит из 5 задач. Каждой задаче присвоен свой балл. Срок выполнения домашнего задания – 1 неделя. Форма представления обучающимися домашнего задания – представленные в письменном виде решения задач.
Контрольная работа
Контрольная работа проводится в формате аудиторной письменной работы. Время на выполнение контрольной работы – 80 минут. Выдается студентам в двух вариантах и состоит из 4 задач. Каждой задаче присвоен свой балл.
Аудиторная работа
Преподаватель оценивает работу студентов на семинарских занятиях: оценивается активность студентов, успешное решение задач на семинаре. Накопленная оценка по 10-ти балльной шкале за работу на семинарских занятиях определяется перед итоговым контролем.
Экзамен

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (3 модуль)
0.24 * Аудиторная работа + 0.18 * Домашнее задание + 0.18 * Контрольная работа + 0.4 * Экзамен

Программа дисциплины