• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
Бакалавриат 2018/2019

Введение в динамические системы

Лучший по критерию «Полезность курса для Вашей будущей карьеры»
Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»
Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»
Статус: Курс обязательный (Математика)
Направление: 01.03.01. Математика
Когда читается: 1-й курс, 1-3 модуль
Формат изучения: без онлайн-курса
Язык: русский
Кредиты: 7

Программа дисциплины

Аннотация

Целями освоения дисциплины «Введение в динамические системы» является знакомство с основными понятиями и результатами современной теории динамических систем. К ним относятся: классификация траекторий и их предельных множеств, грубость и структурная устойчивость, типичные бифуркации, регулярная динамика и хаос, знакомство с математическими моделями важнейших процессов естествознания. Целью курса является также знакомство с методами качественной теории динамических систем, которые позволят студентам в будущем более осмысленно и целенаправленно осваивать курс теории динамических систем, включающий в себя изучение дифференциальных уравнений и современных достижений качественной теории, теории бифуркаций и глобального анализа. В результате освоения дисциплины студент должен знать: - понятия и результаты современной теории динамических систем; уметь качественно исследовать простейшие модели регулярной и хаотической динамики; владеть методами качественной теории динамических систем исследования современных задач.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Целями освоения дисциплины «Введение в динамические системы» является зна-комство с основными понятиями и результатами современной теории динамических си-стем. К ним относятся: классификация траекторий и их предельных множеств, грубость и структурная устойчивость, типичные бифуркации, регулярная динамика и хаос, зна-комство с математическими моделями важнейших процессов естествознания. Целью курса является также знакомство с методами качественной теории динамических систем, которые позволят студентам в будущем более осмысленно и целенаправленно осваивать курс теории динамических систем, включающий в себя изучение дифференциальных уравнений и современных достижений качественной теории, теории бифуркаций и гло-бального анализа. В результате освоения дисциплины студент должен: знать: - понятия и результаты современной теории динамических систем. уметь: - качественно исследовать простейшие модели регулярной и хаотической динамики. владеть: - методами качественной теории динамических систем исследования современных задач.
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • Владеет основными понятиями раздела, понимает формулировки теорем, излагает их доказательство.
  • Владеет основными понятиями и фактами, изложенными в разделе. Доказывает теоремы.
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Дискретная одномерная динамика на интервале и окружности
    1. Простейшие модели роста популяции. Модель неограниченного роста по закону гео-метрической прогрессии (закон Мальтуса). Модель ограниченного роста (Закон Ферхюльста). Однопараметрическое семейство логистических уравнений. Различные ви-ды поведения дискретной модели в зависимости от параметра. Понятие дискретной ди-намической системы и ее орбит. Определение неподвижной и периодической точек (ор-бит), а также неподвижной и периодической точек со временем (преднеподвижной и предпериодической). Примеры . 2. Асимптотическое поведение орбит дискретной динамической системы. Проблема предсказания «судьбы траектории». Примеры различного поведения траекторий у раз-личных систем. Проблема существования периодических орбит разного периода. Резуль-тат А.Н. Шарковского: «существование орбиты периода 3 влечет хаос». Методы наблю-дения за асимптотическим поведением орбит динамической системы (график орбиты, ги-стограмма орбиты, диаграмма Ламерея). 3. Методы отыскания неподвижных точек и периодических орбит (аналитический, каче-ственный и численный). Рассмотрение примеров. Понятие о блуждающих и неблужда-ющих точках дискретной динамической системы (отображения). Структура неблуждаю-щего и блуждающего множества их инвариантность. Предельные множества данной тра-ектории и динамической системы. 4. Типы неподвижных и периодических точек (орбит). Понятие о стоковой, источнико-вой, нейтральной неподвижной и периодической точке (орбиты). Достаточное условие для определения типа неподвижной точки (орбиты). Объяснить корректность признака для периодической точки. Применение диаграммы Ламерея для определения типа непо-движной точки и асимптотического поведения орбит отображения. Нахождение непо-движных точек различных отображений из логистического семейства. Другие примеры . 5. Понятие о бифуркации системы и бифуркационном значении параметра. Бифуркации неподвижных точек и периодических орбит, связанные со сменой типа, появлением и исчезновением. Бифуркация касания или седло-узел, бифуркация «вилка». Бифуркаци-онные диаграммы. Примеры. Бифуркация удвоения периода. Исследование логистиче-ского семейства с точки зрения существования последовательности бифуркационных значений параметра, приводящих к хаосу. 6. Динамические системы с хаотическим поведением. Открытое множество систем с хао-тическим поведением. Качественные и численные методы, иллюстрирующие понятие ха-оса. Три атрибута хаоса (плотность множество периодических точек, существование транзитивной орбиты, чувствительная зависимость орбит от начальных условий). Иллю-страция этих свойств на примере растягивающего отображения. 7. Понятие о топологической эквивалентности динамических систем. Примеры. Дина-мические системы на замкнутом интервале, порожденные взаимно-однозначными и не-прерывными отображениями (гомеоморфизмами). Топологическая классификация стоко-вых и источниковых неподвижных точек гомеоморфизмов. Топологическая классифика-ция гомеоморфизмов замкнутого интервала, обладающих конечными множествами сто-ковых и источниковых периодических точек. 8. Понятие грубости и структурной устойчивости гладкого отображения замкнутого ин-тервала. Необходимые и достаточные условия грубости диффеоморфизма замкнутого ин-тервала. Схема доказательства. 9. Диффеоморфизмы Морса-Смейла на окружности. Необходимые и достаточные усло-вия грубости. Топологическая классификация и реализация. Результаты А.Г. Майера (2 часа). 10. Число вращения Пуанкаре для гомеоморфизмов окружности. Доказательство его су-ществования. Взаимосвязь между арифметическими свойствами числа вращения и дина-микой гомеоморфизм. 11. Рациональные и иррациональные повороты окружности. Топологическая классифи-кация периодических и транзитивных гомеоморфизмов окружности. 12. Гомеоморфизмы окружности с нигде неплотными рекуррентными орбитами отлич-ными от периодических. Понятие о канторовском множестве. Пример Данжуа. Тополо-гическая классификация гомеоморфизмов с нигде неплотными рекуррентными орбита-ми (отличными от периодических орбит). .
  • Векторные поля и слоения на поверхностях.
    13. Топологическая классификация замкнутых ориентируемых поверхностей. Понятие о роде поверхности. Представление ориентируемой поверхности отличной от сферы как фактор-пространство эвклидовой плоскости (в случае тора) и плоскости Лобачевского по дискретной группе движений. 14. Векторные поля на поверхностях. Траектории векторного поля. Состояния равнове-сия. Понятие об индексе состояния равновесия. Эйлерова характеристика поверхности. Формула Эйлера-Пуанкаре. 15. Векторные поля на двумерном торе без состояний равновесия. Рациональные и ирра-циональные обмотки тора. Число вращения Пуанкаре для ориентируемых слоений на то-ре как асимптотическое направление слоев накрывающего слоения на эвклидовой плос-кости. Топологическая классификация транзитивных слоений на торе. 16. Слоения на двумерном торе с нигде неплотными рекуррентными слоями (отличными от замкнутых слоев. Пример Данжуа. Топологическая классификация слоений с рекур-рентными нигде неплотными слоениями. 17. Понятие о 2-тканях на двумерном торе. 2-ткани с транзитивными слоениями и их то-пологическая классификация. 18. Асимптотическое поведение траекторий накрывающего векторного поля на плоско-сти Лобачевского являющейся накрытием поверхности с отрицательной Эйлеровой ха-рактеристикой. Гомотопический класс вращения. Топологическая классификация транзи-тивных слоений на поверхностях. 19. Проблема-Аносова-Вейля об отклонении траекторий накрывающего векторного поля от соасимптотических геодезических. Теорема об ограниченном отклонении для вектор-ных полей с конечным числом состояний равновесия. Пример неограниченного отклоне-ния.
  • Дискретные динамические системы на поверхностях
    20. Представление двумерного тора как фактор-пространства эвклидовой плоскости по дискретной группе движений. Сдвиги на двумерном торе. Периодические отображения. Условия транзитивности сдвигов на торе. Топологическая классификация периодических отображений с орбитами одного периода (результат Нильсена). 21. Дискретные динамические системы на замкнутых поверхностях. Типы неподвижных и периодических точек (орбит): стоковые, источниковые и седловые. Понятие об устой-чивом и неустойчивом многообразии седловой точки и сепаратрисах. Топологическая классификация неподвижных точек. Примеры. 22. Алгебраические автоморфизмы тора и их разбиение на 3 класса: периодические, ги-перболические и не являющиеся таковыми. Классификация периодических автоморфиз-мов. Пример Тома гиперболического автоморфизма. Свойства дискретной динамической системы, порожденной гиперболическим автоморфизмом: существование счетного всюду плотного множества периодических точек, транзитивной орбиты и чувствительной зави-симости от начальных условий (атрибуты хаоса) . Существование инвариантной 2-ткани, состоящей из трансверсальных устойчивых и неустойчивых транзитивных слоений. Го-моклинические орбиты. 23. Понятие о диффеоморфизме Аносова на двумерном торе. Структурная устойчивость и топологическая классификация диффеоморфизмов Аносова. 24. Диффеоморфизм тора, полученный хирургической операцией из примера Тома. Поня-тие об одномерном базисном множестве. 25. Топологическая классификация просторно расположенных одномерных базисных множеств на торе. 26. Диффеоморфизм двумерной сферы типа «Подкова Смейла». Методы символической динамики для описания орбит инвариантного множества со сложной динамикой. 27. Понятие экспансивного гомеоморфизма поверхности. Примеры экспансивных гомео- морфизмов. Отсутствие экспансивных гомеоморфизмов на двумерной сфере. Экспансив-ные гомеоморфизмы двумерных ориентируемых поверхностей отличных от сферы. 28. Понятие о псевдоаносовском гомеоморфизме. Взаимосвязь экспансивных гомеомор-физмов с псевдоаносовскими (теорема Левовица и Хирайде). 29. Каскады Морса-Смейла. Гетероклинические орбиты. Градиентно-подобные диф-феоморфизмы двумерных поверхностей. Взаимосвязь с периодическими преобразовани-ями. Конструкция реализации градиентно-подобных диффеоморфизмов. 30. Классификация градиентно-подобных диффеоморфизмов ориентируемых поверхно-стей посредством графов Пейшото и трехцветных графов.
  • Дискретные динамические системы на трехмерных многообразиях.
    31. Каскады Морса-Смейла на 3-многообразиях. Гетероклинические орбиты и гетерокли-нические кривые. Пример Пикстона диффеоморфизма с дико вложенными сепаратистами седловых неподвижных точек. Узловые топологические инварианты и классификация диффеоморфизмов из класса Пикстона. 32. Построение полного топологического инварианта градиентно-подобного диф-феоморфизма без гетероклинических пересечений. Топологическая классификация и реа-лизация.
  • Взаимосвязь между динамикой диффеоморфизмов и топологией объемлющего 3-многообразия.
    33. Глобальные одномерные аттрактор и репеллер диффеоморфизма Морса-Смейла. Раз-ложение Хегора многообразия, допускающего градиентно-подобный диффеоморфизм, определяемый его динамикой. Взаимосвязь динамики с минимальным родом Хегора. 34. Топологическая классификация многообразий, допускающих диффеоморфизмы Мор-са-Смейла без гетероклинических кривых. 35. Топологическая классификация многообразий, допускающих динамические системы с двумерным неблуждающим множеством.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий доклад (реферат)
  • неблокирующий экзамен
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (3 модуль)
    0.3 * доклад (реферат) + 0.7 * экзамен
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Дифференциальные уравнения, учебник, под ред. В. С. Зарубина, А. П. Крищенко, 2-е изд., 348 с., Агафонов, С. А., Герман, А. Д., Муратова, Т. В., 2000
  • Избранные задачи по теории динамических систем, 123 с., Ильяшенко, Ю. С., 2011
  • Методы качественной теории в нелинейной динамике, Ч. 2, пер. с англ. В. А. Осотовой под науч. ред. Д. В. Тураева, А. Л. Шильникова, 546 с., Шильников, Л. П., Шильников, А. Л., Тураев, Д. В., Чуа, Л. О., 2009

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Дифференциальные уравнения, учебник, под ред. В. С. Зарубина, А. П. Крищенко, 336 с., Агафонов, С. А., Герман, А. Д., Муратова, Т. В., 1997