Бакалавриат
2018/2019
Динамические системы в естествознании
Статус:
Курс обязательный (Математика)
Направление:
01.03.01. Математика
Кто читает:
Кафедра фундаментальной математики
Когда читается:
3-й курс, 1-3 модуль
Формат изучения:
без онлайн-курса
Язык:
русский
Кредиты:
5
Контактные часы:
70
Программа дисциплины
Аннотация
Настоящая дисциплина относится к блоку дисциплин «Проектная и исследовательская работа» и является научно-исследовательским (проектным) семинаром. Изучение НИС базируется на хорошем владении математическим аппаратом выпускника средней общеобразовательной школы. Для освоения НИС, студенты должны владеть следующими знаниями и компетенциями: знать основы математического анализа, алгебры и геометрии в рамках средней общеобразовательной школы, уметь решать типовые школьные задачи по математике, помнить основные математические теоремы школьного курса математики. Курс опирается на знания студентов, приобретенные при изучении основ элементарной математики, и обеспечивает теоретическую подготовку и практические навыки в области современных методов математического анализа. НИС «Приложения теории динамических систем в естествознании» занимает основополагающую позицию в образовании студентов специальности «математика», давая язык, логику и понятия, необходимые для овладения большинством математических дисциплин, как то: дифференциальные и интегральные уравнения, функциональный анализ, теории функций действительной и комплексной переменных, вычислительные методы, вариационное и операционное исчисления, дифференциальная геометрия, топология, теория вероятностей, оптимальное управление и т.д.
Цель освоения дисциплины
- освоение методов математического моделирования
- освоение методов исследования математических моделей, возникающих в естествознании
- изучение динамики математических моделей
Планируемые результаты обучения
- Умеет строить математические модели динамических процессов
- Понимает, что такое доказательство. Умеет логически выстраивать доводы, основываясь на введенных понятиях и уже доказанных фактах
- Умеет решать типовые теоретические и вычислительные задачи
- Имеет навыки применения методов в смежных теоретических и прикладных областях
Содержание учебной дисциплины
- Применение динамических систем в небесной механике.Небесная механика и законы Кеплера. Основной труд Ньютона. Проблема двух тех, когда одно тело много массивнее другого. Проблема двух тел в общем случае. Проблема трех тел в небесной механике. Открытие Пуанкаре гомоклинических орбит.
- Применение динамических систем в гидродинамике.Элементы гидродинамики. Уравнение непрерывности (неразрывности). Уравнение Эйлера (в гидродинамике). Закон Бернулли (в гидродинамике). Закон Торричелли о вытекании жидкости из сосуда. Управление уровнем жидкости в сосуде
- Математические модели осцилляторов.Законы Кирхгофа. Математическая модель линейного осциллятора. Фазовые портреты. Ламповый генератор электрических колебаний. Уравнение Ван-дер-Поля. Андронов А.А. и проблема возникновения автоколебаний.
- Применение динамических систем в биологии.Простейшие модели динамики популяций. Управление динамикой одной популяции. Модель хищник-жертва Лотки-Вольтерра. Управление популяциями в модели Лотки-Вольтерра
- Математические бильярды как модели некоторых моделей естествознания.Математический бильярд. Механические задачи, приводящие к математическим бильярдам. Математический бильярд в области, ограниченной гладкой кривой. Бильярд в круге и эллипсе. Математические бильярды в многоугольниках
- Применение динамических систем в изучении электромагнитных процессов.Электрические и магнитные поля. Уравнения Максвелла в дифференциальной и интегральной формах. Гамильтониан и его свойства. Сила Лоренца. Элементы электростатики и магнитостатики. Электромагнитные волны. Уравнение Пуассона.
- Элементы магнитной гидродинамики.Двойное векторное произведение и тождество Якоби. Уравнение индукции магнитного поля в движущейся электропроводящей среде. Применение динамических систем Морса-Смейла к изучению магнитных полей Солнца и астрофизических тел. Проблема существования сепараторов в магнитных полях плазмы. Топологическая структура магнитного поля короны Солнца. Магнитные поля в космосе. Динамо-модели. Двумерные динамо-модели, построенные с помощью аносовских автоморфизмов. Подковы в конструкциях двумерного динамо. Трехмерные модели динамо и соленоид Смейла. Построение трехмерных моделей динамо веревочного типа с помощью модифицированных диффеоморфизмов Смейла
- Математические модели, описываемые уравнением реакции-диффузии.Построение цепочек связанных отображений для уравнения реакции-диффузии. Динамика локального отображения (метод Песина-Юрченко) в цепочках связанных отображений
- Динамика плоских течений несжимаемой среды.Безвихревое плоское течение несжимаемой жидкости. Комплексный потенциал плоского течения жидкости. Свойства комплексного потенциала. Комплексный потенциал точечного вихря. Подъемная сила Чаплыгина
Промежуточная аттестация
- Промежуточная аттестация (3 модуль)0.5 * Домашнее задание + 0.5 * Контрольная работа
Список литературы
Рекомендуемая основная литература
- Арнольд В.И., Хесин Б.А. - Топологические методы в гидродинамике - Московский центр непрерывного математического образования - 2007 - 392с. - ISBN: 978-5-94057-312-8 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/9291
- Самарский А.А., Михайлов А.П. - Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры - Издательство "Физматлит" - 2005 - 320с. - ISBN: 5-9221-0120-X - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/59285
Рекомендуемая дополнительная литература
- под редакцией В. М. Матросова, В. В. Румянцева, А. В. Карапетяна - Нелинейная механика - Издательство "Физматлит" - 2001 - 432с. - ISBN: 5-9221-0091-2 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/59276