• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
2018/2019

Логика

Статус: Майнор
Когда читается: 1, 2 модуль
Преподаватели: Беклемишев Лев Дмитриевич, Саватеев Юрий Вячеславович, Сустретов Дмитрий Александрович
Язык: русский

Программа дисциплины

Аннотация

Для освоения учебной дисциплины студенты должны владеть следующими знаниями и компетенциями: • Математика в объеме программы средней школы. • Иметь представление о вычислимых функциях в объеме, не превышающем содержание курса «Вычислимость и сложность» майнора «Математические структуры» . Основные положения дисциплины могут быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин: • Графы и топология • Линейная алгебра • Математический анализ • Геометрия. • Теория чисел
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Целями освоения дисциплины «Логика» является знакомство с аксиоматическим методом и различными взглядами на философские проблемы оснований математики; с основными понятиями и системообразующими примерами из математической логики; выработка умения математически строго аргументировать свои выводы, как письменно, так и устно; Приобретение навыков работы с математической литературой.
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • Знать основные понятия тех разделов математической логики, которые включены в программу. Уметь решать базовые задачи по каждому разделу. Уверенно пользоваться математическим языком, владеть терминологией по каждому разделу. Приобрести опыт устного и письменного изложения математических рассуждений.
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Введение.Предмет математической логики. Вопросы оснований математики.
  • Аксиоматическое построение элементарной геометрии, роль аксиомы о парал-лельных. Парадоксы теории множеств, семантические парадоксы. Формальный аксиоматический метод Гильберта, программа Гильбертаю Роль теорем Гёделя о неполноте.
  • Логика высказываний. Теорема о дизъюнктивной нормальной форме. Исчисле-ние высказываний в секвенциальной форме Генцена. Теорема о полноте.
  • Интуиционизм как философия математики. Интерпретация интуиционистской логики по Брауэру-Гейтингу-Колмогорову. Интуиционистская логика высказы-ваний, е модели Крипке. Теорема Крипке о полноте интуиционистской логики высказываний. Дизъюнктивное свойство. Теорема Гливенко.
  • Модальности и их возможные интерпретации. Модальные логики, логика S4, пе-ревод Гёделя. Теорема о несоотвествии интуиционистской логики и модальной логики S4. Эпистемическое понимание модальности для системы с несколькими агентами. Логика S5, ее полнота по Крипке. Модальность как доказуемость, ло-гика доказуемости Гёделя-Лёба.
  • Логика предикатов.
  • Предикаты. Переменные и их области изменения. Кванторы.
  • Языки первого порядка: термы, формулы, подформулы. Примеры языков первого порядка: язык арифметики, язык элементарной геометрии.
  • Интерпретации (алгебраические системы, модели) для данного языка первого порядка. Истинность замкнутой формулы в данной интерпретации. Предикаты, выразимые в данной интерпретации.
  • Аксиомы и правила вывода исчисления предикатов (без доказательств). Теорема о компактности для логики предикатов.
  • Нестандартные модели арифметики, их существование.
  • Описание отношения порядка для счетных нестандартных моделей арифметики.
  • Элиминация кванторов. Теореиа Тарского о разрешимости теории поля вещественных чисел и элементарной геометрии.
  • Формальная арифметика, ее стандартная модель.
  • Сигма-определитель в стандартной модели арифметики.
  • Эквивалентность понятий перечислимого и сигма-определимого множества. Неперечислимость множества арифметических истин. Проблема распознавания истинности замкнутых арифметических формул, ее алгоритмическая неразреши-мость. Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики (вторая теорема Гёделя о неполноте без доказательства)
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Домашние задания
    Предполагается дать две или три домашних работы и одну контрольную работу в конце первого модуля
  • неблокирующий Контрольная работа
    Предполагается дать две или три домашних работы и одну контрольную работу в конце первого модуля
  • неблокирующий Экзамен
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (2 модуль)
    0.2 * Домашние задания + 0.4 * Контрольная работа + 0.4 * Экзамен
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • - Верещагин Н.К., Шень А. — Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 1. Начала теории множеств - Московский центр непрерывного математического образования - 2008 - ISBN: 978-5-94057-321-0 - Текст электронный // ЭБС Лань - URL: https://e.lanbook.com/book/9306

Рекомендуемая дополнительная литература

  • - Гладкий А.В. — Введение в современную логику - Московский центр непрерывного математического образования - 2001 - ISBN: 5-900916-98-7 - Текст электронный // ЭБС Лань - URL: https://e.lanbook.com/book/9324